Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 693 Мерзляк — Подробные Ответы
Через точку, не принадлежащую прямой a, провели три прямые. Докажите, что по крайней мере две из этих прямых пересекают прямую a.
Через точку, не принадлежащую прямой a, провели три прямые;
1) Допустим, что не более одной прямой пересекает прямую a, то есть две или три из этих прямых параллельны прямой a;
2) Это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит по крайней мере две из этих прямых пересекают прямую a;
Что и требовалось доказать.
Ключевой факт (аксиома параллельных). Через точку, не лежащую на прямой a, можно провести ровно одну прямую, параллельную прямой a.
Подробное решение (прямое рассуждение).
- Рассмотрим три проведённые через P прямые: l1, l2, l3.
- По аксиоме параллельных среди прямых, проходящих через P, не более одной может быть параллельна a.
- Следовательно, из трёх прямых l1, l2, l3 как минимум две не параллельны прямой a.
- В евклидовой геометрии если прямая не параллельна a, то она пересекает a (существует единственная точка их пересечения).
- Значит, как минимум две из прямых l1, l2, l3 пересекают прямую a.
Итог: по крайней мере две проведённые через P прямые пересекают a. Что и требовалось доказать.
Замечание (доказательство от противного, для полноты).
1) Предположим противное: пересекает прямую a не более одной из трёх прямых через P.
2) Тогда по меньшей мере две прямые из трёх не пересекают a, то есть обе параллельны a.
3) Но через точку P, не лежащую на a, может быть проведена лишь одна прямая, параллельная a. Получили противоречие.
4) Следовательно, наше предположение неверно, и как минимум две прямые обязаны пересекать a.
