Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 695 Мерзляк — Подробные Ответы
Докажите, что:
1) биссектрисы накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, параллельны;
2) биссектрисы односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, перпендикулярны.
Дано:
AB ∥ CD;
AE – бисс ∠BAD;
AF – бисс ∠PAD;
DF – бисс ∠CDA;
Доказать:
1) AE ∥ DF;
2) AF ⊥ DF;
Решение:
1) Для прямых AB и CD и секущей AD:
∠BAD = ∠CDA;
Для прямых AE и DF и секущей AD:
∠DAE = 1/2 ∠BAD = 1/2 ∠CDA = ∠ADF;
AE ∥ DF;
2) Для прямых AB и CD и секущей AD:
∠PAD + ∠CDA = 180°;
Рассмотрим треугольник AFD:
∠AFD + ∠FAD + ∠FDA = 180°;
∠AFD + 1/2 ∠PAD + 1/2 ∠CDA = 180°;
2∠AFD + ∠PAD + ∠CDA = 360°;
2∠AFD + 180° = 360°;
2∠AFD = 180°;
∠AFD = 90°;
AF ⊥ DF;
Что и требовалось доказать.
Дано:
AB ∥ CD;
AE – бисс ∠BAD;
AF – бисс ∠PAD;
DF – бисс ∠CDA;
Доказать:
1) AE ∥ DF;
2) AF ⊥ DF.
Решение:
Шаг 1. Так как прямые AB и CD параллельны, а AD является секущей, то углы ∠BAD и ∠CDA — это накрест лежащие углы. По свойству параллельных прямых имеем:
∠BAD = ∠CDA.
Шаг 2. AE является биссектрисой угла ∠BAD, а DF — биссектрисой угла ∠CDA. Следовательно, их углы равны половинам исходных углов:
∠DAE = 1/2 ∠BAD, ∠ADF = 1/2 ∠CDA.
Так как ∠BAD = ∠CDA, то:
∠DAE = ∠ADF.
Из этого следует, что AE ∥ DF.
Таким образом, доказано первое утверждение.
Шаг 3. Теперь рассмотрим углы ∠PAD и ∠CDA. Эти углы — односторонние при параллельных прямых AB и CD и секущей AD. Для них выполняется:
∠PAD + ∠CDA = 180°.
Шаг 4. AF является биссектрисой угла ∠PAD, следовательно:
∠FAD = 1/2 ∠PAD.
А DF является биссектрисой угла ∠CDA, поэтому:
∠FDA = 1/2 ∠CDA.
Шаг 5. Рассмотрим треугольник AFD. В нем сумма углов равна 180°:
∠AFD + ∠FAD + ∠FDA = 180°.
Подставим выражения для углов через половины:
∠AFD + 1/2 ∠PAD + 1/2 ∠CDA = 180°.
Умножим всё уравнение на 2:
2∠AFD + ∠PAD + ∠CDA = 360°.
Шаг 6. Так как ∠PAD + ∠CDA = 180°, то получаем:
2∠AFD + 180° = 360°.
2∠AFD = 180°.
∠AFD = 90°.
Значит, AF ⊥ DF.
Вывод:
1) AE ∥ DF;
2) AF ⊥ DF.
Что и требовалось доказать.
