ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 699 Мерзляк — Подробные Ответы

На стороне BC треугольника ABC отметили точки M и K (точка M лежит между точками B и K) так, что ∠KAC = ∠B, ∠BAM = ∠C. Докажите, что ΔMAK – равнобедренный.

Дано:
∠KAC = ∠B;
∠BAM = ∠C;
Доказать: ΔMAK – равнобед;

Решение:
1) В треугольнике AKC:
∠AKC + ∠KAC + ∠KCA = 180°;
∠AKC = 180° – ∠KAC – ∠KCA;

2) В треугольнике ABM:
∠ABM + ∠BMA + ∠BAM = 180°;
∠BMA = 180° – ∠ABM – ∠BAM;
∠BMA = 180° – ∠KAC – ∠KCA;
∠BMA = ∠AKC;

3) Рассмотрим треугольник AKM:
∠AMK = 180° – ∠BMA = 180° – ∠AKC = ∠AKM;
ΔMAK – равнобедренный;
Что и требовалось доказать.

Дано:
∠KAC = ∠B;
∠BAM = ∠C;
Доказать: ΔMAK – равнобед;

1) Рассмотрим треугольник AKC.
По теореме о сумме углов треугольника имеем:
∠AKC + ∠KAC + ∠KCA = 180°.
Отсюда выражаем угол:
∠AKC = 180° – ∠KAC – ∠KCA.

2) Рассмотрим треугольник ABM.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠ABM + ∠BMA + ∠BAM = 180°.
Тогда угол:
∠BMA = 180° – ∠ABM – ∠BAM.

Так как по условию ∠BAM = ∠C, а ∠KAC = ∠B, то подставляем эти равенства. При этом углы ∠ABM и ∠KCA — это один и тот же угол у вершины B и C при сторонах BC и AC соответственно, поэтому можем записать:
∠BMA = 180° – ∠KAC – ∠KCA.

Сравнивая с формулой для угла ∠AKC из пункта (1), получаем:
∠BMA = ∠AKC.

3) Рассмотрим треугольник AKM.
В этом треугольнике угол при вершине M равен:
∠AMK = 180° – ∠BMA (так как ∠BMA и ∠AMK являются смежными углами).
Но мы уже доказали, что ∠BMA = ∠AKC. Следовательно:
∠AMK = 180° – ∠AKC.

С другой стороны, в треугольнике AKC угол ∠AKM равен:
∠AKM = 180° – ∠AKC.

Значит, углы ∠AMK и ∠AKM равны:
∠AMK = ∠AKM.

4) Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, треугольник ΔMAK равнобедренный, и его боковые стороны AM и AK равны.

Что и требовалось доказать.