ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 701 Мерзляк — Подробные Ответы

На стороне AC треугольника ABC отметили точку O так, что AB = AO.
Известно, что внешний угол треугольника ABC при вершине A равен 160° и ∠C = 40°.
Докажите, что BO = CO.

Дано:
AB = AO;
∠DAB = 160°;
∠C = 40°;
Доказать:
BO = CO.

Решение:

1) ΔAOB равнобедренный:
∠ABO = ∠AOB;
∠DAB — внешний;
∠DAB = ∠ABO + ∠AOB;
∠AOB + ∠ABO = 160°;
2∠AOB = 160°;
∠AOB = 80°.

2) Рассмотрим треугольник COB:
∠AOB — внешний;
∠AOB = ∠CBO + ∠BCO;
∠CBO + 40° = 80°;
∠CBO = 40°;
∠CBO = ∠BCO;
ΔCBO равнобедренный;
BO = CO;
что и требовалось доказать.

Дано:
AB = AO;
∠DAB = 160°;
∠C = 40°;
Доказать:
BO = CO.

Шаг 1. Рассмотрим треугольник AOB. По условию AB = AO, значит, треугольник AOB равнобедренный.
Следовательно, углы при основании равны: ∠ABO = ∠AOB. Это свойство равнобедренного треугольника.

Шаг 2. Внешний угол ∠DAB при вершине A равен 160°. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
То есть: ∠DAB = ∠ABO + ∠AOB.

Шаг 3. Так как ∠ABO = ∠AOB, получаем уравнение: ∠AOB + ∠AOB = 160°.
Или 2∠AOB = 160°.
Отсюда: ∠AOB = 80°.
Таким образом, каждый из углов ∠AOB и ∠ABO равен 80°.

Шаг 4. Теперь рассмотрим треугольник COB. В нём угол ∠AOB является внешним углом.
По теореме о внешнем угле: ∠AOB = ∠CBO + ∠BCO.

Шаг 5. Подставим известные данные. Мы нашли, что ∠AOB = 80°. Также дано, что угол ∠C равен 40°.
Следовательно: 80° = ∠CBO + 40°.

Шаг 6. Вычислим угол ∠CBO: ∠CBO = 80° − 40° = 40°.
Таким образом, углы ∠CBO и ∠BCO равны: ∠CBO = ∠BCO = 40°.

Шаг 7. Если два угла в треугольнике равны, то и стороны, противолежащие этим углам, равны.
В треугольнике CBO углы ∠CBO и ∠BCO равны, значит, стороны BO и CO равны.

Вывод: BO = CO. Что и требовалось доказать.