ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 702 Мерзляк — Подробные Ответы

На продолжениях стороны AC треугольника ABC за точки A и C отметили соответственно точки M и K так, что AM = AB, CK = BC.
Найдите углы треугольника MBK, если ∠BAC = 60°, ∠ACB = 80°.

Дано:
AM = AB;
CK = BC;
∠BAC = 60°;
∠ACB = 80°;
Найти:
∠M, ∠K, ∠MBK.

Решение:

1) ΔMAB равнобедренный:
∠BMA = ∠MBA;
∠BAC — внешний;
∠BAC = ∠BMA + ∠MBA;
60° = ∠BMA + ∠BMA;
2∠BMA = 60°;
∠BMA = 30°.

2) ΔBCK равнобедренный:
∠BKC = ∠KBC;
∠BCA — внешний;
∠BCA = ∠BKC + ∠KBC;
80° = ∠BKC + ∠BKC;
2∠BKC = 80°;
∠BKC = 40°.

3) В треугольнике MBK:
∠BMK + ∠BKM + ∠MBK = 180°;
30° + 40° + ∠MBK = 180°;
∠MBK = 110°.

Ответ: ∠M = 30°; ∠K = 40°; ∠MBK = 110°.

Дано:
AM = AB;
CK = BC;
∠BAC = 60°;
∠ACB = 80°;
Найти:
∠M, ∠K, ∠MBK.

Шаг 1. Рассмотрим треугольник MAB.
По условию AM = AB, следовательно, треугольник MAB равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит ∠BMA = ∠MBA.
Угол ∠BAC равен 60° и является внешним углом для треугольника MAB при вершине A. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть:
∠BAC = ∠BMA + ∠MBA.
Так как ∠BMA = ∠MBA, получаем: 60° = 2∠BMA.
Отсюда ∠BMA = 30°.
Таким образом, угол при вершине M равен 30°.

Шаг 2. Теперь рассмотрим треугольник BCK.
По условию CK = BC, значит треугольник BCK равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠BKC = ∠KBC.
Угол ∠ACB равен 80° и является внешним углом для треугольника BCK при вершине C. Следовательно, ∠ACB = ∠BKC + ∠KBC.
Так как ∠BKC = ∠KBC, получаем: 80° = 2∠BKC.
Отсюда ∠BKC = 40°.
Таким образом, угол при вершине K равен 40°.

Шаг 3. Рассмотрим треугольник MBK.
Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно:
∠BMK + ∠BKM + ∠MBK = 180°.
Подставляем найденные значения: 30° + 40° + ∠MBK = 180°.
Вычисляем: ∠MBK = 180° − 70° = 110°.
Таким образом, угол при вершине B равен 110°.

Вывод: Углы треугольника MBK равны: ∠M = 30°, ∠K = 40°, ∠MBK = 110°.