ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 703 Мерзляк — Подробные Ответы

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его стороны AB и BC в точках M и K соответственно так, что AM = MK.
Известно, что ∠B = 65°, ∠C = 45°. Найдите угол KAC.

Дано:
MK ∥ AC;
AM = MK;
∠B = 65°;
∠C = 45°;
Найти:
∠KAC.

Решение:

1) Для прямых AC и MK и секущей BC:
∠BKM = ∠BCA = 45°.

2) В треугольнике MBK:
∠BMK + ∠MBK + ∠BKM = 180°;
∠BMK + 65° + 45° = 180°;
∠BMK = 70°.

3) ΔAMK равнобедренный:
∠MAK = ∠MKA;
∠BMK — внешний угол;
∠BMK = ∠MAK + ∠MKA;
70° = ∠MKA + ∠MKA;
2∠MKA = 70°;
∠MKA = 35°.

4) Для прямых AC и MK и секущей AK:
∠KAC = ∠MKA = 35°.

Ответ: 35°.

Дано:
MK ∥ AC;
AM = MK;
∠B = 65°;
∠C = 45°;
Найти:
∠KAC.

Шаг 1. Так как MK ∥ AC, то углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей BC, будут равны.
Следовательно, угол ∠BKM равен углу ∠BCA. По условию ∠C = ∠BCA = 45°.
Значит: ∠BKM = 45°.

Шаг 2. Рассмотрим треугольник MBK. В нём сумма углов равна 180°:
∠BMK + ∠MBK + ∠BKM = 180°.
Подставим известные значения: ∠BMK + 65° + 45° = 180°.
Вычислим: ∠BMK = 180° − 110° = 70°.
Таким образом, угол при вершине M равен 70°.

Шаг 3. Теперь рассмотрим треугольник AMK. По условию AM = MK, значит, треугольник AMK равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому ∠MAK = ∠MKA.
При этом угол ∠BMK является внешним для треугольника AMK при вершине M.
По теореме о внешнем угле: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть:
∠BMK = ∠MAK + ∠MKA.
Но ∠MAK = ∠MKA, поэтому:
∠BMK = 2∠MKA.
Подставим значение ∠BMK = 70°:
70° = 2∠MKA.
Отсюда: ∠MKA = 35°.
Следовательно, ∠MAK тоже равен 35°.

Шаг 4. Так как MK ∥ AC, а секущая AK пересекает эти прямые, углы ∠KAC и ∠MKA равны (как накрест лежащие углы).
Значит: ∠KAC = ∠MKA = 35°.

Вывод: угол KAC равен 35°.

Ответ: 35°.