Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 706 Мерзляк — Подробные Ответы
Высоты AD и CM равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) пересекаются в точке H, ∠AHC = 140°.
Найдите углы треугольника ABC.
Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AD, CM — высоты;
∠AHC = 140°;
Найти:
∠A, ∠B, ∠C.
Решение:
1) ΔABC равнобедренный:
∠BAC = ∠BCA.
2) Рассмотрим треугольники AMC и CDA:
AC — общая сторона, ∠MC = ∠DCA;
ΔAMC = ΔCDA — по гипотенузе и углу;
∠DAC = ∠MCA.
3) В треугольнике AHC:
∠AHC + ∠HAC + ∠HCA = 180°;
140° + ∠HAC + ∠HAC = 180°;
2∠HAC = 40°;
∠HAC = 20°.
4) В прямоугольном ΔAMH:
∠AHC — внешний угол;
∠AHC = ∠AMH + ∠HAM;
140° = 90° + ∠HAM;
∠HAM = 50°.
5) В треугольнике ABC:
∠A = ∠HAM + ∠HAC = 50° + 20° = 70°;
∠C = ∠A = 70°;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
70° + ∠B + 70° = 180°;
∠B = 40°.
Ответ: ∠A = 70°; ∠B = 40°; ∠C = 70°.
Дано:
ΔABC — равнобедренный (AB = BC);
AD и CM — высоты;
∠AHC = 140°;
Найти: ∠A, ∠B, ∠C.
Шаг 1. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), то углы при основании равны:
∠A = ∠C. Это важное свойство, которое мы будем использовать позже.
Шаг 2. Рассмотрим два прямоугольных треугольника AMC и CDA.
Высоты AD и CM проведены к сторонам треугольника, поэтому ∠AMC = ∠CDA = 90°.
Также у них общая сторона AC.
Из равенства по гипотенузе и катету (AC общая, и прямые углы равны) получаем, что ΔAMC ≅ ΔCDA.
Следовательно, равны и углы: ∠DAC = ∠MCA.
Шаг 3. Рассмотрим треугольник AHC.
Условие: ∠AHC = 140°.
Сумма углов в треугольнике равна 180°:
∠AHC + ∠HAC + ∠HCA = 180°.
Подставим: 140° + ∠HAC + ∠HCA = 180°.
Так как ΔAMC ≅ ΔCDA, имеем ∠HAC = ∠HCA.
Следовательно: 140° + 2∠HAC = 180°.
2∠HAC = 40°.
∠HAC = 20°.
Таким образом, угол при вершине A внутри треугольника AHC равен 20°.
Шаг 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMH.
Здесь ∠AMH = 90°, так как AD — высота.
Угол ∠AHC является внешним для треугольника AMH при вершине H.
По теореме о внешнем угле: ∠AHC = ∠AMH + ∠HAM.
Подставим: 140° = 90° + ∠HAM.
∠HAM = 50°.
Таким образом, угол при вершине A разделился на две части: 50° и 20°.
Шаг 5. Найдём угол ∠A треугольника ABC.
∠A = ∠HAM + ∠HAC = 50° + 20° = 70°.
Так как ΔABC равнобедренный, имеем ∠C = ∠A = 70°.
Шаг 6. Найдём угол ∠B.
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Подставим: 70° + ∠B + 70° = 180°.
∠B = 40°.
Вывод: углы треугольника ABC равны: ∠A = 70°, ∠B = 40°, ∠C = 70°.
Ответ: 70°; 40°; 70°.
