Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 709 Мерзляк — Подробные Ответы
На рисунке 344 AB = BC = CD = DE, BF ⟂ AC, DK ⟂ CE.
Докажите, что AF = EK.
Дано:
AB = BC = CD = DE;
BF ⟂ AC;
DK ⟂ CE;
Доказать: AF = EK.
Решение:
1) Рассмотрим треугольник ACE:
AC = AB + BC = CD + DE = EC;
ΔACE — равнобедренный;
∠CAE = ∠CEA.
2) Рассмотрим треугольники ABK и EDF:
∠BAK = ∠DEF;
ΔABK = ΔEDF — по катету и углу;
AK = EF.
3) Искомые отрезки:
AF = AK − FK = EF − FK = EK;
Что и требовалось доказать.
Дано:
AB = BC = CD = DE;
BF ⟂ AC;
DK ⟂ CE;
Доказать: AF = EK.
Шаг 1. Найдём длины сторон треугольника ACE.
Заметим, что AC состоит из отрезков AB и BC, а CE состоит из отрезков CD и DE.
Так как AB = BC = CD = DE, то AC = AB + BC = 2AB, а CE = CD + DE = 2AB.
Следовательно, AC = CE.
Значит, треугольник ACE равнобедренный, и в нём углы при основании равны: ∠CAE = ∠CEA.
Шаг 2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABK и EDF.
— В треугольнике ABK прямой угол при точке B, так как BF ⟂ AC.
— В треугольнике EDF прямой угол при точке D, так как DK ⟂ CE.
Также заметим, что ∠BAK = ∠DEF, так как они равны углам при основании равнобедренного треугольника ACE.
Таким образом, у треугольников ABK и EDF равны угол и катет, прилежащий к этому углу.
Следовательно, ΔABK ≅ ΔEDF.
Из равенства этих треугольников получаем AK = EF.
Шаг 3. Рассмотрим теперь отрезки AF и EK.
AF = AK − FK,
EK = EF − FK.
Так как AK = EF (доказано в шаге 2), то получаем:
AF = AK − FK = EF − FK = EK.
Вывод: мы доказали, что AF = EK.
Ответ: AF = EK.
