ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 711 Мерзляк — Подробные Ответы

Угол между высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины его прямого угла, равен 12°. Найдите острые углы данного треугольника.

Дано:
∠C = 90°;
CD — биссектриса ∠C;
CH — высота из вершины C;
∠HCD = 12°;
Найти: ∠A, ∠B.

1) В прямоугольном треугольнике CHD:
∠DCH + ∠CDH = 90°;
12° + ∠CDH = 90°;
∠CDH = 78°.

2) В треугольнике CDB:
∠DCB = ½∠C = 45°;
∠CDH — внешний угол при вершине D для треугольника CDB:
∠CDH = ∠DCB + ∠DBC;
78° = 45° + ∠DBC;
∠DBC = 33°.

3) В прямоугольном треугольнике ACB:
∠A + ∠B = 90°;
∠B = ∠DBC = 33°;
∠A = 90° − 33° = 57°.

Ответ: ∠A = 57°, ∠B = 33°.

Дано:
∠C = 90°; CD — биссектриса ∠C; CH ⟂ AB; ∠HCD = 12°.
Найти: ∠A, ∠B.

Шаг 1. Правильная конфигурация треугольника CHD.
Точки D и H лежат на прямой AB (D — на гипотенузе, H — её проекция из C). Так как CH ⟂ AB, то угол при H в треугольнике CHD прямой: ∠DHC = 90°. Следовательно, ΔCHD — прямоугольный, а его острые углы дополняют друг друга до 90°:

∠DCH + ∠CDH = 90°.

Подставляя ∠DCH = ∠HCD = 12°, получаем:

∠CDH = 90° − 12° = 78°.

Шаг 2. Связь с треугольником CDB и теорема о внешнем угле.
CD — биссектриса прямого угла при C, поэтому

∠DCB = ½∠C = 45° (и ∠BCD = 45°).

Угол ∠CDH — внешний для треугольника CDB при вершине D (луч DH — продолжение луча DB, так как D и H лежат на AB). По теореме о внешнем угле:

∠CDH = ∠DCB + ∠DBC.

Подставляя значения, имеем:

78° = 45° + ∠DBC ⟹ ∠DBC = 33°.

Шаг 3. Переход к искомому углу при вершине B.
Луч DB — это часть луча BA, поэтому угол между DB и BC равен полному углу при вершине B: ∠DBC = ∠ABC. Значит

∠B = 33°.

Шаг 4. Второй острый угол треугольника ABC.
В прямоугольном треугольнике острые углы дополняют друг друга до 90°:

∠A = 90° − ∠B = 90° − 33° = 57°.

Ответ: ∠A = 57°, ∠B = 33°.