Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 712 Мерзляк — Подробные Ответы
На гипотенузе AB прямоугольного равнобедренного треугольника ABC отметили точки M и K так, что AC = AM и BC = BK. Найдите ∠MCK.
Дано:
ΔABC — равнобедренный;
∠C = 90°;
AC = AM; BC = BK;
Найти: ∠MCK.
1) ΔABC равнобедренный при C (катеты равны), поэтому углы при A и B равны и дополняют прямой угол при C:
∠A = ∠B;
∠A + ∠B = 90°;
2∠A = 90° → ∠A = ∠B = 45°.
2) Рассмотрим ΔCBK. Так как BC = BK, треугольник равнобедренный, значит
∠BCK = ∠BKC.
Сумма углов треугольника:
∠BCK + ∠BKC + ∠CBK = 180°;
∠BKC + ∠BKC + 45° = 180°;
2∠BKC = 135° → ∠BKC = 67,5°.
3) Рассмотрим ΔCAM. Так как AC = AM, он равнобедренный, значит
∠ACM = ∠AMC.
Сумма углов треугольника:
∠ACM + ∠AMC + ∠CAM = 180°;
∠AMC + ∠AMC + 45° = 180°;
2∠AMC = 135° → ∠AMC = 67,5°.
4) В треугольнике KCM сумма углов равна 180°:
∠CKM + ∠CMK + ∠KCM = 180°;
67,5° + 67,5° + ∠MCK = 180°;
∠MCK = 45°.
Ответ: 45°.
Дано:
∠C = 90°; AC = BC (прямоугольный равнобедренный ΔABC);
M, K ∈ AB; AC = AM; BC = BK.
Найти: ∠MCK.
Шаг 1. Острые углы исходного треугольника.
Так как ΔABC прямоугольный и равнобедренный (AC = BC), то углы при основании равны: ∠A = ∠B. Их сумма равна 90° (дополняют прямой угол при C), значит
∠A = ∠B = 45°.
Шаг 2. Углы в равнобедренном треугольнике CBK.
По условию BK = BC, следовательно ΔCBK равнобедренный с вершиной при B. Тогда
∠BCK = ∠BKC.
А угол при вершине B равен углу исходного треугольника: ∠CBK = ∠ABC = 45° (луч BK лежит на AB).
Сумма углов треугольника CBK: 2∠BKC + 45° = 180° ⟹ ∠BKC = ∠BCK = 67,5°.
Шаг 3. Углы в равнобедренном треугольнике CAM.
По условию AM = AC, следовательно ΔCAM равнобедренный с вершиной при A. Тогда
∠ACM = ∠AMC.
А вершинный угол равен ∠CAM = ∠A = 45° (луч AM лежит на AB).
Сумма углов треугольника CAM: 2∠AMC + 45° = 180° ⟹ ∠AMC = ∠ACM = 67,5°.
Шаг 4. Переход к треугольнику KCM.
Точки B, A, M, K коллинеарны (все на AB). Поэтому углы при вершинах K и M в ΔKCM равны ранее найденным:
∠CKM = ∠BKC = 67,5° (второй луч на той же прямой AB),
∠CMK = ∠AMC = 67,5°.
Шаг 5. Искомый угол.
В ΔKCM сумма углов 180°: ∠CKM + ∠CMK + ∠MCK = 180°.
Подставляем: 67,5° + 67,5° + ∠MCK = 180° ⟹ ∠MCK = 45°.
Ответ: ∠MCK = 45°.
