Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 715 Мерзляк — Подробные Ответы
Высоты AM и CK треугольника ABC пересекаются в точке O, OK = OM, ∠BAM = ∠ACK. Докажите, что треугольник ABC — равносторонний.
Дано:
AM, CK — высоты;
OK = OM;
∠BAM = ∠ACK;
Доказать:
ΔABC — равносторонний;
1) Рассмотрим треугольники AKO и CMO:
∠AOK = ∠COM — вертикальные;
ΔAKO = ΔCMO — по катету и углу;
∠OAK = ∠OCM, AO = CO;
2) Рассмотрим треугольник ABC:
∠ACK = ∠BAM = ∠BCK;
CM — биссектриса и высота;
ΔABC — равнобедренный;
∠CAB = ∠CBA;
3) Рассмотрим треугольники AKC и CMA:
CK = CO + OK = AO + OM = AM;
AC — общая сторона;
ΔAKC = ΔCMA — по катету и гипотенузе;
∠KAC = ∠MCA;
4) Рассмотрим треугольник ABC:
∠B = ∠A = ∠C;
ΔABC — равносторонний;
Что и требовалось доказать.
Дано:
AM, CK — высоты;
OK = OM;
∠BAM = ∠ACK;
Доказать:
ΔABC — равносторонний;
Шаг 1. Равенство прямоугольных треугольников AKO и CMO.
Точки K и M — основания высот, поэтому OK ⊂ CK ⟂ AB и OM ⊂ AM ⟂ BC. Следовательно, ∠AKO = ∠CMO = 90°.
Угол ∠AOK равен ∠COM как вертикальные (луч OK коллинеарен CK, а OM — AM). Кроме того, по условию OK = OM.
Значит, прямоугольные треугольники ΔAKO и ΔCMO равны по катету и прилежащему острому углу. Отсюда получаем:
AO = CO и ∠OAK = ∠OCM.
Шаг 2. CK — биссектриса угла C и одновременно высота ⇒ AC = CB, ∠A = ∠B.
Из равенства углов из шага 1 имеем ∠OAK = ∠OCM. Поскольку AK ∥ AB, CM ∥ CB, OK ∥ CK, OM ∥ AM, то это равенство переписывается как ∠BAM = ∠BCK.
По условию ∠BAM = ∠ACK, значит ∠ACK = ∠BCK, т.е. CK делит угол C пополам.
Так как CK одновременно биссектриса и высота, то треугольник ABC равнобедренный при основании AB: AC = CB, следовательно, ∠A = ∠B.
Шаг 3. Равенство прямоугольных треугольников AKC и CMA ⇒ ∠A = ∠C.
Из шага 1 AO = CO, а из условия OK = OM, следовательно, CK = CO + OK = AO + OM = AM.
В прямоугольных треугольниках ΔAKC (прямой угол при K) и ΔCMA (прямой угол при M) общая гипотенуза AC и равные катеты CK = AM, значит ΔAKC ≅ ΔCMA по гипотенузе и катету.
Тогда соответствующие углы равны: ∠KAC = ∠MCA и ∠KCA = ∠CAM.
Но CK — биссектриса угла C, следовательно, ∠KCA = ∠ACB/2. Отсюда ∠CAM = ∠ACB/2, а ∠A = ∠BAM + ∠CAM = (∠ACB/2) + (∠ACB/2) = ∠ACB, т.е. ∠A = ∠C.
Шаг 4. Вывод о равносторонности.
Из шага 2: ∠A = ∠B. Из шага 3: ∠A = ∠C. Следовательно, ∠A = ∠B = ∠C = 60°, а значит, AB = BC = CA и треугольник ABC равносторонний.
