ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 716 Мерзляк — Подробные Ответы

Две высоты равнобедренного треугольника при пересечении образуют угол 100°. Найдите углы данного треугольника.

Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AM, BE, CK — высоты;
1) ∠AOC = 100°;
2) ∠AOB = 100°;
Найти: ∠A, ∠B, ∠C.

Решение:

ΔABC равнобедренный: ∠BAC = ∠BCA;
Рассмотрим треугольники AKC и CMA:
∠KAC = ∠MCA;
AC — общая сторона;
ΔAKC = ΔCMA — по гипотенузе и углу;
∠MAC = ∠KCA;

1) В прямоугольном ΔAKO:
∠AOC — внешний;
∠AOC = ∠OAK + ∠AKO;
100° = ∠OAK + 90°;
∠OAK = 10°;
В треугольнике AOC:
∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°;
100° + ∠OAC + ∠OAC = 180°;
2∠OAC = 80°;
∠OAC = 40°;
∠A = ∠OAK + ∠OAC;
∠C = ∠A = 10° + 40° = 50°;
В треугольнике ABC:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
50° + ∠B + 50° = 180°;
∠B = 80°;

2) В прямоугольном ΔBMO:
∠AOB — внешний;
∠AOB = ∠OBM + ∠BMO;
100° = ∠OBM + 90°;
∠OBM = 10°;
ΔABC равнобедренный:
BE — высота и биссектриса;
∠B = 2∠EBC = 20°;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠A + 20° + ∠A = 180°;
2∠A = 160°;
∠C = ∠A = 80°;
∠A = 80°.

Ответ: 50°, 50°, 80° или 80°, 80°, 20°.

Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AM, BE, CK — высоты;
1) ∠AOC = 100°;
2) ∠AOB = 100°;
Найти: ∠A, ∠B, ∠C.

Шаг 1. Анализ условия.
Пусть основание равнобедренного треугольника — AC, тогда AB = BC. Из вершины B проведена высота BE, которая в равнобедренном треугольнике является также медианой и биссектрисой. Из вершин A и C проведены высоты AM и CK. По условию при пересечении двух высот образовался угол 100°.

Шаг 2. Рассмотрим первый случай: ∠AOC = 100°.
Пусть высоты AM и CK пересекаются в точке O, и угол ∠AOC = 100°. Тогда:
— в прямоугольном треугольнике ΔAKO внешний угол при O равен сумме углов при A и K;
∠AOC = ∠OAK + ∠AKO.
Так как ∠AKO = 90°, то получаем:
100° = ∠OAK + 90° ⟹ ∠OAK = 10°.

Шаг 3. Найдём угол ∠A в треугольнике AOC.
В ΔAOC: ∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°;
100° + 2∠OAC = 180° ⟹ 2∠OAC = 80° ⟹ ∠OAC = 40°.
Тогда весь угол при A равен: ∠A = ∠OAK + ∠OAC = 10° + 40° = 50°.
Аналогично ∠C = 50° (так как треугольник равнобедренный).
Теперь найдём угол ∠B:
∠A + ∠B + ∠C = 180° ⟹ 50° + ∠B + 50° = 180° ⟹ ∠B = 80°.
Значит, один возможный набор углов: 50°, 80°, 50°.

Шаг 4. Рассмотрим второй случай: ∠AOB = 100°.
Теперь угол между высотами AM и BE равен 100°. Пусть O — точка их пересечения.
В прямоугольном ΔBMO имеем: ∠AOB = ∠OBM + ∠BMO.
Так как ∠BMO = 90°, получаем:
100° = ∠OBM + 90° ⟹ ∠OBM = 10°.

Шаг 5. Угол ∠B в равнобедренном треугольнике.
Так как BE — биссектриса, то ∠B = 2∠EBC = 2·10° = 20°.
Тогда в ΔABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠A + 20° + ∠A = 180° ⟹ 2∠A = 160° ⟹ ∠A = 80°.
Так как треугольник равнобедренный, то ∠C = ∠A = 80°.
Значит, другой возможный набор углов: 80°, 20°, 80°.

Вывод:
В зависимости от того, какие две высоты брались, возможны два ответа:
— углы треугольника равны 50°, 80°, 50°;
— или углы равны 80°, 20°, 80°.

Окончательный ответ: 50°, 50°, 80° или 80°, 80°, 20°.