ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 717 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольнике ABC угол ACB — прямой, CH — высота данного треугольника, CD — биссектриса треугольника BCH. Докажите, что AC = AD.

Дано:
∠C = 90°;
CH — высота;
CD — биссектриса ∠BCH;
Доказать: AC = AD.

Решение:

1) В прямоугольном ΔCHD:
∠CDH + ∠DCH = 90°;
∠CDH = 90° − ∠DCH.

2) В треугольнике CDB:
∠CDH — внешний;
∠CDH = ∠BCD + ∠CBD;
90° − ∠DCH = ∠DCH + ∠CBD;
∠CBD = 90° − 2∠DCH.

3) В прямоугольном ΔABC:
∠BAC + ∠ABC = 90°;
∠BAC + 90° − 2∠DCH = 90°;
∠BAC = 2∠DCH.

4) Рассмотрим треугольник ACD:
∠ACD + ∠CAD + ∠CDA = 180°;
∠ACD + 2∠DCH + 90° − ∠DCH = 180°;
∠ACD = 90° − ∠DCH = ∠CDA.
Следовательно, ΔACD равнобедренный, значит AC = AD.

Что и требовалось доказать.

Дано:
∠C = 90°;
CH — высота;
CD — биссектриса треугольника BCH;
Доказать: AC = AD.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔCHD.
Так как CH ⟂ AB, то ∠CHD = 90°. В этом треугольнике:
∠CDH + ∠DCH = 90°;
следовательно, ∠CDH = 90° − ∠DCH. (1)

2. Связь угла ∠CDH с углами треугольника CDB.
В треугольнике CDB угол ∠CDH является внешним при вершине D. По теореме о внешнем угле:
∠CDH = ∠BCD + ∠CBD.
Подставим из (1): 90° − ∠DCH = ∠DCH + ∠CBD.
Отсюда: ∠CBD = 90° − 2∠DCH. (2)

3. Найдём угол при вершине A.
В прямоугольном ΔABC: ∠A + ∠B = 90°.
Подставим выражение для ∠B из (2): ∠A + (90° − 2∠DCH) = 90°.
Следовательно, ∠A = 2∠DCH. (3)

4. Рассмотрим треугольник ACD.
Сумма углов в треугольнике ACD равна 180°:
∠ACD + ∠CAD + ∠CDA = 180°.
Подставим известные значения: ∠CAD = ∠A = 2∠DCH (из (3)), а ∠ACD = 90° (так как ∠ACB = 90° и ∠DCH часть этого угла). Более точно:
∠ACD = ∠ACB − ∠DCH = 90° − ∠DCH.
Тогда: (90° − ∠DCH) + 2∠DCH + ∠CDA = 180°.
Отсюда: ∠CDA = 90° − ∠DCH. (4)

5. Равнобедренность треугольника ACD.
Из (4) и выражения для ∠ACD имеем:
∠ACD = 90° − ∠DCH = ∠CDA.
То есть в треугольнике ACD углы при вершинах C и D равны, значит он равнобедренный: AC = AD.

Вывод: в треугольнике ACD стороны AC и AD равны, следовательно, AC = AD. Что и требовалось доказать.