Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 718 Мерзляк — Подробные Ответы
Угол между высотой и биссектрисой равнобедренного треугольника, проведёнными из одной вершины, равен 15°. Найдите углы данного треугольника. Сколько решений имеет задача?
Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AH — высота;
AD — биссектриса ∠A;
∠DAH = 15°;
Найти: ∠A, ∠B, ∠C.
Решение:
ΔABC равнобедренный: ∠BAC = ∠BCA.
В прямоугольном ΔADH: ∠ADH + ∠DAH = 90°;
∠ADH + 15° = 90°;
∠ADH = 75°.
1) Если точка D лежит на отрезке CH:
∠ADH — внешний в ΔACD;
∠CAD + ∠ACD = ∠ADH;
½∠A + ½∠A = 75°;
∠A = 75°;
∠C = ∠A = 50°;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
50° + ∠B + 50° = 180°;
∠B = 80°.
2) Если точка D лежит на отрезке BH:
∠ADH — внешний в ΔABD;
∠BAD + ∠ABD = ∠ADH;
½∠A + ∠B = 75°;
∠B = 75° − ½∠A;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠A + 75° − ½∠A + ∠A = 180°;
3/2∠A = 105°;
∠A = 70°;
∠C = ∠A = 70°;
∠B = 75° − 35° = 40°.
Ответ: 50°, 50°, 80° или 70°, 70°, 40°.
Дано:
— ΔABC равнобедренный (AB = AC);
— AH — высота;
— AD — биссектриса угла ∠A;
— ∠DAH = 15°;
Найти: ∠A, ∠B, ∠C и количество решений.
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔADH.
В нём угол при H равен 90°. Следовательно:
∠ADH + ∠DAH = 90°;
∠ADH + 15° = 90°;
∠ADH = 75°. (1)
2. Первый случай: точка D лежит на отрезке CH.
В этом случае ∠ADH является внешним углом для треугольника ΔACD.
По теореме о внешнем угле:
∠ADH = ∠CAD + ∠ACD.
Но так как AD — биссектриса, то ∠CAD = ½∠A.
А ∠ACD = ½∠A (поскольку ΔABC равнобедренный и ∠C = ∠A).
Значит:
½∠A + ½∠A = 75°;
∠A = 75°. (2)
Так как треугольник равнобедренный, то ∠C = ∠A = 50°.
Теперь найдём ∠B из суммы углов треугольника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
50° + ∠B + 50° = 180°;
∠B = 80°.
Итак, первый набор углов: ∠A = 50°, ∠B = 80°, ∠C = 50°.
3. Второй случай: точка D лежит на отрезке BH.
В этом случае ∠ADH — внешний угол для треугольника ΔABD.
По теореме о внешнем угле:
∠ADH = ∠BAD + ∠ABD.
Подставим значения: ∠BAD = ½∠A, а ∠ABD = ∠B.
Следовательно:
½∠A + ∠B = 75°. (3)
Теперь используем основное уравнение для треугольника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Так как ΔABC равнобедренный, ∠C = ∠A.
Подставляем: ∠A + ∠B + ∠A = 180° ⟹ 2∠A + ∠B = 180°. (4)
Теперь из (3) выразим ∠B: ∠B = 75° − ½∠A.
Подставим в (4):
2∠A + (75° − ½∠A) = 180°;
3/2∠A = 105°;
∠A = 70°.
Тогда ∠C = ∠A = 70°;
∠B = 75° − 35° = 40°.
Итак, второй набор углов: ∠A = 70°, ∠B = 40°, ∠C = 70°.
4. Вывод.
У задачи два решения. В зависимости от расположения точки D относительно высоты AH треугольник ABC может иметь углы:
— 50°, 80°, 50°;
— или 70°, 40°, 70°.
Окончательный ответ: ∠A = 50°, ∠B = 80°, ∠C = 50° или ∠A = 70°, ∠B = 40°, ∠C = 70°.
