ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 719 Мерзляк — Подробные Ответы

На продолжениях гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC за точки A и B отметили соответственно точки D и E так, что AC = AD, BC = BE. Найдите угол DCE.

Дано:
∠C = 90°;
AC = AD;
BC = BE;
Найти: ∠DCE.

Решение:

1) ΔDAC равнобедренный:
∠ADC = ∠ACD;
∠BAC — внешний;
∠ADC + ∠ACD = ∠BAC;
∠ACD + ∠ACD = ∠A;
∠DCA = ½∠A.

2) ΔEBC равнобедренный:
∠BEC = ∠BCE;
∠AC — внешний;
∠BEC + ∠BCE = ∠ABC;
∠BCE + ∠BCE = ∠B;
∠BCE = ½∠B.

3) В прямоугольном ΔABC:
∠A + ∠B = 90°.

4) Искомый угол:
∠DCE = ∠DCA + ∠ACB + ∠BCE;
∠DCE = ½∠A + ∠C + ½∠B;
∠DCE = ½(∠A + ∠B) + ∠C;
∠DCE = ½·90° + 90° = 135°.

Ответ: 135°.

Дано:
— ∠C = 90°;
— AC = AD;
— BC = BE;
Найти: ∠DCE.

1. Рассмотрим треугольник DAC.
Так как AC = AD, то треугольник DAC равнобедренный.
Следовательно, углы при основании равны: ∠ADC = ∠ACD.
Теперь заметим, что угол при вершине A (угол ∠BAC) является внешним для ΔDAC.
По теореме о внешнем угле:
∠BAC = ∠ADC + ∠ACD.
Так как ∠ADC = ∠ACD, получаем:
∠ACD = ½∠A.
(1)

2. Рассмотрим треугольник EBC.
По условию BE = BC, значит ΔEBC равнобедренный.
Отсюда следует: ∠BEC = ∠BCE.
Угол при вершине B (∠ABC) является внешним для ΔEBC.
По теореме о внешнем угле:
∠ABC = ∠BEC + ∠BCE.
Так как ∠BEC = ∠BCE, получаем:
∠BCE = ½∠B.
(2)

3. Используем прямоугольный треугольник ABC.
Так как ∠C = 90°, то:
∠A + ∠B = 90°.
(3)

4. Находим угол DCE.
Угол DCE составляется из трёх углов:
∠DCE = ∠DCA + ∠ACB + ∠BCE.
Подставим значения из (1), (2) и учтём, что ∠ACB = ∠C = 90°:
∠DCE = ½∠A + 90° + ½∠B.
Вынесем ½ за скобку:
∠DCE = ½(∠A + ∠B) + 90°.
По (3): ∠A + ∠B = 90°.
Тогда: ∠DCE = ½·90° + 90° = 45° + 90° = 135°.

Вывод:
Угол DCE равен 135°.

Окончательный ответ: ∠DCE = 135°.