ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 720 Мерзляк — Подробные Ответы

В равностороннем треугольнике ABC из середины M стороны AC опущен перпендикуляр MK на сторону BC. Найдите периметр треугольника ABC, если KC = 3 см.

Дано:
ΔABC — равносторонний;
AM = MC;
MK ⟂ BC;
KC = 3 см;
Найти: P_ABC.

Решение:

1) Так как ΔABC равносторонний, то:
AB = BC = CA;
∠A = ∠B = ∠C = 60°.

2) Рассмотрим прямоугольный ΔMKC:
∠CMK + ∠MKC = 90°;
∠CMK + 60° = 90°;
∠CMK = 30°.
Так как против угла 30° лежит половина гипотенузы, то:
MC = 2KC = 6.

3) Найдём искомый периметр:
P_ABC = AB + BC + CA = 3AB.
Но AB = AC = 2MC = 12.
Следовательно:
P_ABC = 3·12 = 36 см.

Ответ: 36 см.

Дано:
— ΔABC — равносторонний;
— AM = MC (M — середина AC);
— MK ⟂ BC;
— KC = 3 см;
Найти: P_ABC.

1. Свойства равностороннего треугольника.
Так как треугольник ABC равносторонний, то все его стороны равны:
AB = BC = CA.
Кроме того, все углы равны:
∠A = ∠B = ∠C = 60°.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔMKC.
По условию MK ⟂ BC, значит ΔMKC прямоугольный при K.
В нём:
∠CMK + ∠MKC = 90°.
Но ∠MKC = 90°, а угол ∠MCB равен 60° (так как ΔABC равносторонний).
Следовательно:
∠CMK = 90° − ∠MCB = 90° − 60° = 30°.

3. Свойство прямоугольного треугольника с углом 30°.
В прямоугольном треугольнике угол 30° всегда противолежит стороне, равной половине гипотенузы.
В ΔMKC гипотенуза — MC, а против угла 30° лежит катет KC.
Значит:
KC = ½·MC.
Подставляем известное значение KC = 3 см:
3 = ½·MC ⟹ MC = 6 см.

4. Выразим сторону AC.
Так как M — середина AC, получаем:
AC = 2MC = 2·6 = 12 см.

5. Найдём все стороны треугольника.
ΔABC равносторонний, значит:
AB = BC = AC = 12 см.

6. Периметр треугольника.
P_ABC = AB + BC + CA = 3·12 = 36 см.

Вывод: Периметр равностороннего треугольника ABC равен 36 см.

Окончательный ответ: 36 см.