ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 723 Мерзляк — Подробные Ответы

На одной стороне угла B отметили точки D и A, а на другой — точки E и C (рис. 345) так, что AC ⊥ BC, DE ⊥ BC, CD ⊥ AB. Найдите отрезок DE, если ∠B = 30°, AC = 12 см.

Дано:
AC ⊥ BC;
DE ⊥ BC;
CD ⊥ AB;
∠B = 30°;
AC = 12 см;
Найти: DE.

1) В прямоугольном ΔBAC:
∠ABC = 30°;
BA = 2AC = 24;
∠BAC + ∠ABC = 90°;
∠BAC + 30° = 90°;
∠BAC = 60°.

2) В прямоугольном ΔADC:
∠CAD + ∠ACD = 90°;
60° + ∠ACD = 90°;
∠ACD = 30°;
DA = 1/2 AC = 6.

3) В прямоугольном ΔBDE:
BD = BA − AD = 18;
∠DBE = 30°;
DE = 1/2 BD = 9.

Ответ: 9 см.

Дано:
AC ⊥ BC;
DE ⊥ BC;
CD ⊥ AB;
∠B = 30°;
AC = 12 см;
Найти: отрезок DE.

Шаг 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBAC.
Так как AC ⊥ BC, то угол при вершине C равен 90°.
По условию ∠ABC = 30°.
Следовательно, третий угол ∠BAC = 180° − 90° − 30° = 60°.
Таким образом, ΔBAC — это прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60°, 90° существует соотношение между сторонами:
гипотенуза равна удвоенному катету, лежащему против угла 30°.
Здесь катет AC против угла ∠ABC = 30°.
Значит, BA = 2 · AC = 2 · 12 = 24.

Шаг 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔADC.
По условию CD ⊥ AB, следовательно, ∠ADC = 90°.
Угол ∠CAD = ∠BAC = 60° (так как он общий в ΔBAC и ΔADC).
Значит, угол ∠ACD = 90° − 60° = 30°.
В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60°, 90° катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы.
Здесь гипотенуза AC = 12, катет DA лежит напротив угла 30°.
Значит, DA = 1/2 · AC = 6.

Шаг 4. Найдём BD.
BD = BA − AD = 24 − 6 = 18.

Шаг 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBDE.
По условию DE ⊥ BC, значит, ∠BED = 90°.
Также известно, что угол ∠DBE = ∠ABC = 30°, так как BE лежит на продолжении стороны BC.
Тогда треугольник ΔBDE также является прямоугольным с углами 30°, 60°, 90°.
В таком треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы.
Здесь гипотенуза BD = 18, угол ∠DBE = 30°, а катет DE лежит напротив угла 30°.
Следовательно, DE = 1/2 · BD = 9.

Окончательный ответ: DE = 9 см.