ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 726 Мерзляк — Подробные Ответы

Диаметры AB и CD окружности с центром O перпендикулярны. На диаметре AB по разные стороны от центра O отметили точки E и F так, что CE = DF. Докажите, что OE = OF.

Дано:
AB, CD — диаметры;
AB ⟂ CD; CE = DF;
Доказать: OE = OF;

Решение:
1) Рассмотрим окружность:
OC = OD = R;

2. Рассмотрим треугольники COE и DOF:
ΔCOE = ΔDOF — по катету и гипотенузе;
OE = OF;

Что и требовалось доказать.

Дано:
AB и CD — диаметры окружности с центром O;
AB ⟂ CD;
CE = DF;
Докажите: OE = OF.

1. Пусть окружность имеет центр O и радиус R. Тогда отрезки OC и OD являются радиусами данной окружности:
OC = OD = R.

2. Рассмотрим прямоугольный крест, образованный диаметрами AB и CD. По условию они перпендикулярны:
AB ⟂ CD,
следовательно, точка O — середина и диаметра AB, и диаметра CD, и они делят друг друга пополам под прямым углом.

3. На диаметре AB выбраны точки E и F по разные стороны от центра O. Это означает, что точка E лежит на отрезке AO, а точка F — на отрезке OB (или наоборот). Таким образом, OE и OF — отрезки, выходящие из центра к этим точкам.

4. Из условия известно, что CE = DF. Отметим, что точки C и D лежат на диаметре CD, перпендикулярном диаметру AB. Тогда:
— CE соединяет точку C на окружности с точкой E на диаметре AB,
— DF соединяет точку D на окружности с точкой F на диаметре AB.
По условию CE = DF.

5. Рассмотрим треугольники COE и DOF:
— В них общим является угол при точке O, так как CO ⟂ AB и DO ⟂ AB (диаметры перпендикулярны, а значит радиусы к точкам A и B образуют прямые углы с AB).
— В обоих треугольниках гипотенузы равны: OC = OD = R.
— По условию равны катеты: CE = DF.

6. Следовательно, треугольники COE и DOF равны по катету и гипотенузе:
ΔCOE = ΔDOF.

7. Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон:
OE = OF.

Заключение: мы показали, что OE = OF, что и требовалось доказать.