ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 727 Мерзляк — Подробные Ответы

Отрезки MK и NP — непараллельные хорды окружности с центром O, MK = NP, точки A и B — середины хорд MK и NP соответственно. Докажите, что ∠OAB = ∠OBA.

Дано:
MK = NP;
MA = AK;
NB = BP;
Доказать: ∠OAB = ∠OBA;

Решение:
1) Рассмотрим окружность: OM = ON = OK = OP = R;
2) ΔMOK равнобедренный:
OA — медиана и высота;
OA ⟂ MK;
3) ΔNOP равнобедренный:
OB — медиана и высота;
OB ⟂ NP;
4) Рассмотрим треугольники MAO и NBO:
MA = ½MK = ½NP = NB;
ΔMAO = ΔNBO — по катету и гипотенузе;
OA = OB;
5) ΔOAB равнобедренный:
∠OAB = ∠OBA;
Что и требовалось доказать.

Дано:
MK = NP;
MA = AK;
NB = BP;
Доказать: ∠OAB = ∠OBA;
Нужно доказать: ∠OAB = ∠OBA.

1) Так как точки M, K, N, P лежат на окружности с центром O, то OM = ON = OK = OP = R, где R — радиус окружности. Все отрезки, соединяющие центр с точками на окружности, равны радиусу.

2) Рассмотрим треугольник MOK. Так как OM = OK, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой. Поскольку A — середина хорды MK, то отрезок OA является медианой в ΔMOK. Следовательно, OA ⟂ MK. Таким образом, OA — и медиана, и высота.

3) Аналогично рассмотрим треугольник NOP. Так как ON = OP, треугольник равнобедренный. В нём медиана, проведённая к основанию NP, также будет высотой. Поскольку B — середина хорды NP, отрезок OB является медианой и, следовательно, OB ⟂ NP.

4) Теперь рассмотрим треугольники MAO и NBO. В них выполняется равенство отрезков:
MA = ½MK и NB = ½NP, при этом MK = NP, значит MA = NB.
Также OA = OB = радиус окружности.
Таким образом, треугольники MAO и NBO равны по катету и гипотенузе. Следовательно, OA = OB.

5) В треугольнике OAB получаем, что OA = OB. Следовательно, ΔOAB равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть:
∠OAB = ∠OBA.

Вывод:
Мы доказали, что треугольник OAB равнобедренный, поэтому углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA. Что и требовалось доказать.