ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 729 Мерзляк — Подробные Ответы

Докажите, что касательные к окружности, проведённые через концы диаметра, параллельны.

Дано:
CD, AB — касательные;
EF — диаметр;
Доказать:
CD ∥ AB;

Решение:
1) Рассмотрим окружность:
CD ⟂ OE, AB ⟂ OF;
2) Для прямых CD и AB и секущей EF:
∠CEF = ∠FE = 90°;
CD ∥ AB;
Что и требовалось доказать.

Дано:
CD, AB — касательные к окружности;
EF — диаметр;
Доказать: CD ∥ AB.

1. Пусть окружность имеет центр O и диаметр EF. По определению диаметра, точки E и F принадлежат окружности, а O — её центр. Таким образом, отрезок EF проходит через центр O и соединяет две противоположные точки окружности.

2. Касательная к окружности в любой точке перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Это одно из основных свойств касательной. Применим это свойство к нашим касательным:
— так как CD — касательная, проведённая в точке E, то радиус OE перпендикулярен касательной: OE ⟂ CD;
— так как AB — касательная, проведённая в точке F, то радиус OF перпендикулярен касательной: OF ⟂ AB.

3. Так как EF — диаметр, то точки E, O, F лежат на одной прямой. Следовательно, отрезки OE и OF являются частями одного диаметра EF. Это означает, что OE и OF коллинеарны, то есть они направлены вдоль одной прямой линии.

4. Теперь рассмотрим взаимное расположение прямых:
— касательная CD перпендикулярна прямой OE;
— касательная AB перпендикулярна прямой OF.
Но так как OE и OF лежат на одной прямой, то обе касательные — CD и AB — перпендикулярны одной и той же прямой EF.

5. По свойству геометрии: если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Таким образом, получаем, что CD ∥ AB.

Заключение:
Мы показали, что касательные к окружности, проведённые через концы диаметра, параллельны, так как они перпендикулярны одному и тому же диаметру.

Окончательный вывод:
CD ∥ AB, что и требовалось доказать.