ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 732 Мерзляк — Подробные Ответы

Через точку A к окружности с центром O проведены касательные AM и AK, M и K – точки касания. Точка пересечения отрезка OA с окружностью является серединой этого отрезка. Найдите ∠MAK.

Дано:
AM, AK – касательные;
AE = EO;
Найти: ∠MAK.

Решение:
1) Рассмотрим окружность:
OK ⟂ AK, OM ⟂ AM;
OK = OM = OE = R;
AO = 2OE = 2R;

2. В прямоугольном ΔAKO:
AO = 2OK;
∠KAO = 30°;

3. В прямоугольном ΔAMO:
AO = 2OM;
∠MAO = 30°;

4. Искомый угол:
∠MAK = ∠MAO + ∠KAO = 60°;

Ответ: 60°.

Дано:
AM, AK – касательные;
AE = EO;
Найти: ∠MAK.

1) По свойству касательной: если из внешней точки A проведены касательные AM и AK к окружности с центром O, то радиусы в точках касания перпендикулярны к этим касательным. Следовательно:
OK ⟂ AK, OM ⟂ AM.
При этом: OK = OM = R (радиусы окружности).

2) Известно, что точка E – середина отрезка OA, и она принадлежит окружности. Тогда OE = EA, а также AO = 2OE. Поскольку OE = R, получаем AO = 2R.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAKO:
AO = 2R, OK = R.
Тогда отношение катета OK к гипотенузе AO равно:
OK / AO = R / 2R = 1/2.
Из этого следует, что угол ∠KAO = 30° (так как sin 30° = 1/2).

4) Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAMO:
AO = 2R, OM = R.
По той же причине ∠MAO = 30°.

5) Так как угол ∠MAK складывается из углов ∠MAO и ∠KAO, получаем:
∠MAK = ∠MAO + ∠KAO = 30° + 30° = 60°.

Окончательный ответ: 60°.