ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 733 Мерзляк — Подробные Ответы

Прямая, параллельная хорде AC окружности, касается этой окружности в точке B. Докажите, что ΔABC — равнобедренный.

Дано:
a — касательная;
AC ∥ a;
Доказать: ΔABC — равнобедренный.

Решение:
1) Рассмотрим окружность:
OB ⟂ a, AC ∥ a;
AC ⟂ OB;
AH = HC;

2) Рассмотрим треугольник ABC:
BH — медиана и высота;
ΔABC — равнобедренный;
Что и требовалось доказать.

Дано:
a — касательная;
AC ∥ a;
Доказать: ΔABC — равнобедренный.

1) Пусть дана окружность с центром O. Построим хорду AC. По условию задачи через точку B проведена касательная a, причём AC ∥ a. Так как касательная в точке B всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то имеем:
OB ⟂ a.

2) Так как AC ∥ a, то из геометрических свойств параллельных прямых и перпендикуляра следует, что если OB ⟂ a, то OB ⟂ AC. Следовательно, прямая OB является перпендикулярной к хорде AC.

3) Известно свойство окружности: если радиус, проведённый к середине хорды, перпендикулярен ей, то он делит хорду пополам. Таким образом, точка H — основание перпендикуляра OB на AC — будет серединой хорды AC, то есть:
AH = HC.

4) Теперь рассмотрим треугольник ABC. В нём высота BH одновременно является медианой (так как делит AC на равные части). Если в треугольнике высота является медианой, то такой треугольник равнобедренный. Следовательно:
AB = BC.

5) Таким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

Вывод: ΔABC — равнобедренный, причём AB = BC.