ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 735 Мерзляк — Подробные Ответы

Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе угла, пересекает каждую из его сторон в двух точках. Докажите, что отрезки, которые отсекает окружность на сторонах угла, равны.

Дано:
MO — бисс ∠M;
Доказать: AB = CD;

Решение:
1) Опустим перпендикуляры:
OE ⟂ AB, OF ⟂ CD;

2. Рассмотрим окружность:
OA = OB = OC = OD = R;

3. Рассмотрим треугольники MOE и MOF:
MO — общая сторона;
∠OME = ∠OMF;
ΔMOE = ΔMOF — по гипотенузе и углу;
OE = OF;

4. Равны по катету и гипотенузе:
ΔOEA = ΔOEB = ΔOFC = ΔOFD;
AE = BE, CF = DF;
AB = AE + BE, CF + DF = CD;
AB = CD;
Что и требовалось доказать.

Дано:
MO — бисс ∠M;
Доказать: AB = CD.

1. Пусть окружность пересекает стороны угла в точках A, B и C, D. Центр O окружности лежит на биссектрисе угла ∠M. Это означает, что биссектриса делит угол ∠M на два равных угла. Таким образом:
∠OME = ∠OMF, где E и F — основания перпендикуляров, опущенных из центра O на стороны угла.

2. Так как OE и OF — перпендикуляры, проведённые к сторонам угла, то точки E и F являются серединами отрезков, которые соединяют точки пересечения окружности со сторонами угла. Иными словами:
OE ⟂ AB, OF ⟂ CD.

3. Центр O равноудалён от всех точек окружности, поэтому радиусы окружности равны:
OA = OB = OC = OD = R.

4. Рассмотрим треугольники ΔMOE и ΔMOF. В них:
— общая сторона MO;
— равные углы ∠OME и ∠OMF (так как MO — биссектриса);
— равные гипотенузы OA = OC = R.
Значит, ΔMOE = ΔMOF (по гипотенузе и острому углу). Отсюда следует равенство катетов:
OE = OF.

5. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ΔOEA, ΔOEB, ΔOFC и ΔOFD. В каждом из них общая гипотенуза равна радиусу окружности, а катеты равны, так как OE = OF. Следовательно:
ΔOEA = ΔOEB = ΔOFC = ΔOFD.
Из этого получаем равенства:
AE = BE, CF = DF.

6. Тогда отрезки, которые отсекает окружность на сторонах угла, выражаются как:
AB = AE + BE, CD = CF + DF.
Так как AE = BE и CF = DF, то AB = CD.

Вывод: отрезки AB и CD равны, что и требовалось доказать.