ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 736 Мерзляк — Подробные Ответы

Через точку M проведены касательные MK и ME к окружности с центром в точке O, где K и E – точки касания, ∠OMK = 30°, MK = 6 см. Найдите длину хорды KE.

Дано:
MK, ME – касательные;
∠OMK = 30°;
MK = 6 см;
Найти: KE;

Решение:
1) Рассмотрим окружность:
OK ⟂ MK, OE ⟂ ME;
OE = OK = R;

2. Рассмотрим треугольники MOE и MOK:
MO – общая сторона;
ΔMOE = ΔMOK – по катету и гипотенузе;
∠OME = ∠OMK = 30°, ME = MK = 6;

3. Рассмотрим треугольник EMK:
ΔEMK – равнобедренный;
∠EMK = ∠OME + ∠OMK = 60°;
∠MKE = ∠MEK = 1/2 (180° – 60°) = 60°;
ΔEMK – равносторонний;
KE = MK = 6;

Ответ: 6 см.

Дано:
MK, ME – касательные;
∠OMK = 30°;
MK = 6 см;
Найти: KE.

1) Так как отрезки MK и ME – касательные, проведённые к окружности с центром O, то по свойству касательной радиусы, проведённые в точки касания K и E, перпендикулярны касательным:
OK ⟂ MK, OE ⟂ ME.
Следовательно, треугольники MOK и MOE – прямоугольные.

2) Заметим, что отрезки MK и ME равны, так как касательные, проведённые из одной точки к окружности, всегда равны:
MK = ME = 6 см.

3) В треугольнике MOK известно, что ∠OMK = 30°, а ∠MOK = 90° (так как OK ⟂ MK). Тогда ∠MKO = 60°.
Аналогично, в треугольнике MOE ∠OME = 30°, ∠MEO = 60°.

4) Теперь рассмотрим треугольник EMK. Так как ME = MK (равные касательные), то треугольник EMK равнобедренный.
Угол при вершине M равен:
∠EMK = ∠OME + ∠OMK = 30° + 30° = 60°.

5) Сумма углов треугольника EMK равна 180°, значит:
∠MKE = ∠MEK = (180° – 60°) / 2 = 60°.
Таким образом, все углы треугольника EMK равны 60°, то есть треугольник EMK – равносторонний.

6) Если треугольник равносторонний, то все его стороны равны:
KE = MK = ME = 6 см.

Ответ: KE = 6 см.