ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 737 Мерзляк — Подробные Ответы

Докажите, что хорда окружности, которая перпендикулярна другой хорде этой окружности и проходит через её середину, является диаметром данной окружности.

Дано:
AB ⟂ CD;
CE = DE;
Доказать: AB — диаметр;

Решение:
1) Рассмотрим окружность:
OC = OD;

2) ΔCOD равнобедренный:
OE — медиана;
OE — высота;
O ∈ AB;
Что и требовалось доказать.

Дано:
AB ⟂ CD;
CE = DE;
Доказать: AB — диаметр.

Решение:
1) Рассмотрим окружность. Пусть O — центр окружности. Так как OC = OD, то точки C и D равноудалены от центра, а значит отрезок CD является хордой окружности.

2. Так как CE = DE, точка E является серединой хорды CD. Следовательно, OE — это отрезок, соединяющий центр окружности O с серединой хорды CD.

3. По свойству окружности: прямая, проходящая через центр окружности и середину хорды, перпендикулярна этой хорде. Поэтому OE ⟂ CD.

4. Из условия известно, что AB ⟂ CD и проходит через точку E — середину хорды CD. Но мы установили, что через середину хорды CD и центр O проходит также прямая, перпендикулярная CD. Такая прямая единственна. Следовательно, прямая AB проходит через центр O.

5. Если прямая AB проходит через центр окружности и соединяет две точки на окружности A и B, то AB — диаметр окружности.

Вывод: AB является диаметром данной окружности. Что и требовалось доказать.