ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 738 Мерзляк — Подробные Ответы

Отрезки AB, AC и BD — соответственно диаметр и хорды окружности, причём AC ∥ BD. Докажите, что отрезок CD — диаметр окружности.

Дано:
AB — диаметр;
AC ∥ BD;
Доказать: CD — диаметр;

Решение:
1) Рассмотрим окружность:
OA = OC = OB = OD = R;

2. Рассмотрим треугольники AOC и BOD:
∠AOC = ∠BOD — вертикальные;
△AOC = △BOD — по первому признаку;
∠OAC = ∠OCA = ∠OBD = ∠ODB;

3. В треугольнике AOC:
∠COB — внешний;
∠COB = ∠OAC + ∠OCA;
∠COB = 2∠OAC;

4. В треугольнике BOD:
∠BOD + ∠OBD + ∠ODB = 180°;
∠BOD = 180° − 2∠AOC;

5. Искомый угол:
∠COD = ∠COB + ∠BOD = 180°;
Что и требовалось доказать.

Дано:
AB — диаметр;
AC ∥ BD;
Доказать: CD — диаметр.

Решение:
1) Так как AB — диаметр окружности, то его середина O — центр окружности. Следовательно, радиусы окружности равны:
OA = OB = OC = OD = R.

2) Рассмотрим треугольники AOC и BOD:
У них общие вершины O, C и O, D.
Угол ∠AOC равен углу ∠BOD, так как это вертикальные углы.
Стороны OA и OC равны радиусам R, и стороны OB и OD также равны радиусам R.
Следовательно, △AOC = △BOD (по первому признаку равенства треугольников: сторона — угол — сторона).
Из равенства треугольников получаем:
∠OAC = ∠OCA и ∠OBD = ∠ODB.

3) В треугольнике AOC рассмотрим угол ∠COB:
∠COB является внешним углом при вершине O в треугольнике AOC.
По свойству внешнего угла он равен сумме двух несмежных внутренних углов:
∠COB = ∠OAC + ∠OCA.
Так как ∠OAC = ∠OCA (треугольник AOC равнобедренный), получаем:
∠COB = 2∠OAC.

4) В треугольнике BOD рассмотрим угол ∠BOD:
∠BOD + ∠OBD + ∠ODB = 180° (сумма углов треугольника).
Так как ∠OBD = ∠ODB (треугольник BOD равнобедренный), получаем:
∠BOD = 180° − 2∠OBD.
Но из равенства треугольников AOC и BOD следует, что ∠OBD = ∠OAC.
Значит:
∠BOD = 180° − 2∠AOC.

5) Теперь рассмотрим четырехугольник ACBD и угол ∠COD:
∠COD = ∠COB + ∠BOD.
Подставим найденные значения:
∠COD = 2∠OAC + (180° − 2∠AOC).
Но ∠OAC = ∠AOC (так как треугольник AOC равнобедренный), значит:
∠COD = 2∠AOC + (180° − 2∠AOC) = 180°.

Следовательно, угол ∠COD — развернутый, и точки C, O и D лежат на одной прямой. Это означает, что CD проходит через центр окружности и является диаметром.

Что и требовалось доказать.