ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 739 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольнике ABC AB = BC, точка O — центр вписанной окружности, точки D и E — точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB соответственно, ∠ABC = 48°. Найдите ∠DOE.

Дано:
AB = BC;
O — центр вписанной окружности;
E, D — точки касания;
∠ABC = 48°;
Найти: ∠DOE.

Решение:
1) △ABC равнобедренный:
∠A = ∠C;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠A + 48° + ∠A = 180°;
2∠A = 132°;
∠A = 66°;

2. Рассмотрим окружность:
O ∈ AO;
∠OAB = ∠OAC = 33°;

3. В прямоугольном △AOE:
∠OAE + ∠AOE = 90°;
33° + ∠AOE = 90°;
∠AOE = 57°;

4. В прямоугольном △AOD:
∠OAD + ∠AOD = 90°;
33° + ∠AOD = 90°;
∠AOD = 57°;

5. Искомый угол:
∠DOE = ∠AOE + ∠AOD;
∠DOE = 57° + 57° = 114°;
Что и требовалось доказать.

Ответ: 114°.

Дано:
AB = BC;
O — центр вписанной окружности;
D, E — точки касания;
∠ABC = 48°;
Найти: ∠DOE.

Шаг 1. Так как треугольник ABC равнобедренный при вершине B, то углы при основании равны:
∠A = ∠C.
В любом треугольнике сумма углов равна 180°:
∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Подставляем ∠B = 48° и ∠A = ∠C:
∠A + 48° + ∠A = 180°.
2∠A + 48° = 180°.
2∠A = 132°.
∠A = 66°.
Следовательно, ∠C = 66°.

Шаг 2. Вписанный центр O лежит на биссектрисе угла A, поэтому угол ∠OAB равен половине угла ∠A:
∠OAB = ½ ∠A = ½ · 66° = 33°.
Аналогично ∠OAC = 33°.

Шаг 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOE. Так как OE перпендикулярен стороне AB, то ∠OEA = 90°.
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°:
∠OAE + ∠AOE = 90°.
Подставляем ∠OAE = 33°:
33° + ∠AOE = 90°.
∠AOE = 57°.

Шаг 4. Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. Так как OD перпендикулярен стороне AC, то ∠ODA = 90°.
Следовательно:
∠OAD + ∠AOD = 90°.
Подставляем ∠OAD = 33°:
33° + ∠AOD = 90°.
∠AOD = 57°.

Шаг 5. Теперь найдём угол ∠DOE. Он равен сумме углов ∠AOE и ∠AOD:
∠DOE = ∠AOE + ∠AOD.
∠DOE = 57° + 57° = 114°.

Ответ: ∠DOE = 114°.