ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 740 Мерзляк — Подробные Ответы

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, BC и AC в точках K, M и E соответственно, AK = BM = CE. Докажите, что треугольник ABC — равносторонний.

Дано:
O — центр вписанной окружности;
K, M, E — точки касания;
AK = BM = CE;
Доказать: ΔABC — равносторонний.

Решение:
1) Рассмотрим окружность:
AE = AK, BK = BM, CM = CE;
AE = AK = BK = BM = CM = CE;

2. Рассмотрим треугольник ABC:
AB = AK + BK = 2AK;
BC = BM + CM = 2AK;
CA = CE + AE = 2AK;
AB = BC = CA;
ΔABC — равносторонний;
Что и требовалось доказать.

Дано:
O — центр вписанной окружности;
K, M, E — точки касания;
AK = BM = CE;
Доказать: ΔABC — равносторонний.

Решение:
Шаг 1. Вспомним свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки: такие касательные равны.
Из этого следует:
AE = AK, BK = BM, CM = CE.
Так как по условию задачи AK = BM = CE, то автоматически равны и все остальные отрезки:
AE = AK = BK = BM = CM = CE.
Таким образом, каждая пара касательных из одной вершины даёт равные отрезки, и все они совпадают по длине.

Шаг 2. Рассмотрим сторону AB.
Она составляется из двух отрезков: AB = AK + KB.
Но так как AK = BK, то AB = 2AK.

Шаг 3. Аналогично рассмотрим сторону BC.
Она составляется из: BC = BM + CM.
Так как BM = CM, получаем: BC = 2BM.
А так как BM = AK, то BC = 2AK.

Шаг 4. Аналогично рассмотрим сторону CA.
Она составляется из: CA = CE + EA.
Так как CE = AE, получаем: CA = 2CE.
А так как CE = AK, то CA = 2AK.

Шаг 5. Мы получили равенства:
AB = 2AK, BC = 2AK, CA = 2AK.
Значит: AB = BC = CA.

Шаг 6. Если все стороны треугольника равны, то треугольник является равносторонним.
Следовательно: ΔABC — равносторонний.

Вывод: Условие AK = BM = CE приводит к тому, что все стороны треугольника равны между собой, а значит, треугольник ABC равносторонний. Что и требовалось доказать.