ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 741 Мерзляк — Подробные Ответы

Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O₁, биссектрисы EF и DK треугольника DEB пересекаются в точке O₂. Докажите, что точки B, O₁ и O₂ лежат на одной прямой.

Дано:
AD — бисс ∠A;
CE — бисс ∠C;
EF — бисс ∠BED;
DK — бисс ∠BDE;
Доказать: O₂ ∈ BO₁.

Решение:
1) Окружность, вписанная в ΔABC:
∠BAD = ∠CAD, ∠BCE = ∠ACE;
O₁ — центр окружности;
∠ABO₁ = ∠CBO₁;

2. Окружность, вписанная в ΔEBD:
∠BEF = ∠DEF, ∠BDK = ∠EDK;
O₂ — центр окружности;
∠EBO₂ = ∠DBO₂;

3. В треугольнике ABC:
BO₁, BO₂ — биссектриса ∠B;
O₂ ∈ BO₁;
Что и требовалось доказать.

Дано:
AD — биссектриса ∠A;
CE — биссектриса ∠C;
EF — биссектриса ∠BED;
DK — биссектриса ∠BDE;
Доказать: O₂ ∈ BO₁.

1) Рассмотрим треугольник ABC. Биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O₁. Эта точка O₁ является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Для центра вписанной окружности выполняется равенство углов:
∠BAD = ∠CAD, ∠BCE = ∠ACE, поэтому O₁ одинаково удалён от всех сторон треугольника. Следовательно, углы при точке B равны:
∠ABO₁ = ∠CBO₁.

2) Теперь рассмотрим треугольник DEB. Биссектрисы EF и DK пересекаются в точке O₂. Эта точка O₂ является центром окружности, вписанной в треугольник DEB. Тогда аналогично выполняется:
∠BEF = ∠DEF, ∠BDK = ∠EDK. Следовательно, O₂ также равноудалён от сторон треугольника DEB. В частности, выполняется равенство:
∠EBO₂ = ∠DBO₂.

3) Рассмотрим всю конфигурацию относительно треугольника ABC. В нём биссектриса угла ∠B проходит через центр вписанной окружности O₁. В то же время в треугольнике DEB биссектриса угла ∠B проходит через центр вписанной окружности O₂. Таким образом, обе точки O₁ и O₂ лежат на одной и той же биссектрисе угла ∠B треугольника ABC. Но биссектриса угла ∠B — это прямая BO₁.

4) Следовательно, точка O₂ принадлежит прямой BO₁, то есть точки B, O₁ и O₂ коллинеарны.
Что и требовалось доказать.