ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 1.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что в выпуклом четырёхугольнике ABCD выполняется неравенство \(AC + BD > AB + CD\).

Доказательство неравенства \(AC + BD > AB + CD\) для выпуклого четырёхугольника ABCD:

1. Для треугольника ABD: \(AB + BD > AD\)
2. Для треугольника CDB: \(CD + BD > BC\)
3. Сложив эти неравенства: \(AB + BD + CD + BD > AD + BC\)
4. Сократив одно из слагаемых BD: \(AB + 2BD + CD > AD + BC\)
5. Так как \(AC = AB + BC\) и \(BD = AD + CD\), то \(AC + BD = AB + 2BD + CD\)
6. Подставляя, получаем: \(AC + BD > AD + BC\)
7. Так как \(AD + BC = AB + CD\), то \(AC + BD > AB + CD\)

Доказательство неравенства \(AC + BD > AB + CD\) для выпуклого четырёхугольника ABCD:

1. Рассмотрим треугольник ABD. Согласно свойствам треугольника, сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны:
\(AB + BD > AD\)

2. Аналогично, для треугольника CDB:
\(CD + BD > BC\)

3. Сложив эти два неравенства, получим:
\(AB + BD + CD + BD > AD + BC\)

4. Сократив одно из слагаемых BD, получим:
\(AB + 2BD + CD > AD + BC\)

5. Так как \(AC = AB + BC\) и \(BD = AD + CD\), то:
\(AC + BD = (AB + BC) + (AD + CD) = AB + 2BD + CD\)

6. Подставляя это выражение в неравенство, полученное на шаге 4, получаем:
\(AC + BD > AD + BC\)

7. Так как \(AD + BC = AB + CD\), то окончательно имеем:
\(AC + BD > AB + CD\)

Таким образом, доказано, что для выпуклого четырёхугольника ABCD выполняется неравенство \(AC + BD > AB + CD\).