ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 1.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что в выпуклом четырёхугольнике сумма диагоналей меньше периметра, но больше полупериметра четырёхугольника.

Доказательство:
1. Пусть стороны четырёхугольника обозначены как \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\).
2. Согласно условию, имеем: \(\frac{1}{2} \geq AC + BD\), \(\frac{1}{2} \geq AB + BC + CD\), \(AB + BC + CD \geq BC\) и \(AB + BC + CD \leq CD + AD\).
3. Сложив первые два неравенства, получаем: \(1 \geq AC + BD + AB + BC + CD\).
4. Из третьего неравенства следует, что \(AC + BD \geq BC\).
5. Из четвёртого неравенства следует, что \(AC + BD \leq CD + AD\).
6. Таким образом, \(BC \leq AC + BD \leq CD + AD\), что доказывает, что сумма диагоналей меньше периметра, но больше полупериметра.

Для доказательства того, что в выпуклом четырёхугольнике сумма диагоналей меньше периметра, но больше полупериметра, выполним следующие шаги:

1. Обозначим стороны четырёхугольника как \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\).

2. Согласно условию, имеем следующие неравенства:
\(\frac{1}{2} \geq AC + BD\)
\(\frac{1}{2} \geq AB + BC + CD\)
\(AB + BC + CD \geq BC\)
\(AB + BC + CD \leq CD + AD\)

3. Сложив первые два неравенства, получим:
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geq AC + BD + AB + BC + CD\)
\(1 \geq AC + BD + AB + BC + CD\)

4. Из третьего неравенства следует, что \(AB + BC + CD \geq BC\). Следовательно, \(AC + BD \geq BC\).

5. Из четвёртого неравенства следует, что \(AB + BC + CD \leq CD + AD\). Следовательно, \(AC + BD \leq CD + AD\).

6. Объединяя результаты пунктов 4 и 5, получаем:
\(BC \leq AC + BD \leq CD + AD\)

7. Таким образом, сумма диагоналей \(AC + BD\) находится между периметром \(BC\) и суммой двух противоположных сторон \(CD + AD\), то есть:
\(BC \leq AC + BD \leq CD + AD\)

Следовательно, в выпуклом четырёхугольнике сумма диагоналей меньше периметра, но больше полупериметра.