ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 1.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен: 1) 150°; 2) 100°?
Для многоугольника с \( n \) углами сумма внутренних углов равна \( (n — 2) \cdot 180° \). Если каждый угол равен \( a \), то:
1) Для угла \( 150° \):
Сумма углов: \( n \cdot 150° = (n — 2) \cdot 180° \).
Преобразуем уравнение: \( 150n = 180n — 360 \).
Решим: \( 30n = 360 \) ⇒ \( n = 12 \).
Такой многоугольник существует (действительный).
2) Для угла \( 100° \):
Сумма углов: \( n \cdot 100° = (n — 2) \cdot 180° \).
Преобразуем уравнение: \( 100n = 180n — 360 \).
Решим: \( 80n = 360 \) ⇒ \( n = 4.5 \).
Такой многоугольник не существует (недействительный).
Ответ: 1) существует; 2) не существует.
Для определения существования многоугольника с заданными углами, воспользуемся формулой для суммы внутренних углов многоугольника. Сумма внутренних углов \( S \) многоугольника с \( n \) углами вычисляется по формуле:
\(
S = (n — 2) \cdot 180°
\)
Если каждый угол многоугольника равен \( a \), то сумма всех углов также может быть выражена как:
\(
S = n \cdot a
\)
Установим равенство между этими двумя выражениями:
\(
n \cdot a = (n — 2) \cdot 180°
\)
Теперь решим это уравнение для двух различных случаев.
1) **Для угла \( 150° \)**:
Подставим \( a = 150° \):
\(
n \cdot 150° = (n — 2) \cdot 180°
\)
Раскроем скобки:
\(
150n = 180n — 360
\)
Переносим все члены с \( n \) в одну сторону:
\(
150n — 180n = -360
\)
Упрощаем:
\(
-30n = -360
\)
Делим обе стороны на -30:
\(
n = 12
\)
Поскольку \( n \) является целым числом и больше 2, многоугольник с углами по \( 150° \) существует. Это двенадцатигранник (додекагон).
2) **Для угла \( 100° \)**:
Подставим \( a = 100° \):
\(
n \cdot 100° = (n — 2) \cdot 180°
\)
Раскроем скобки:
\(
100n = 180n — 360
\)
Переносим все члены с \( n \) в одну сторону:
\(
100n — 180n = -360
\)
Упрощаем:
\(
-80n = -360
\)
Делим обе стороны на -80:
\(
n = 4.5
\)
Поскольку \( n \) не является целым числом, многоугольник с углами по \( 100° \) не существует.
Ответ: 1) существует; 2) не существует.
