ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 1.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Решение:
Пусть углы четырёхугольника пропорциональны числам 4, 5 и 7. Тогда четвёртый угол равен их полусумме:
\(\frac{4 + 5 + 7}{2} = 8\)
Сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому:
\(4 + 5 + 7 + 8 = 360\)
\(x = 15°\)
Таким образом, углы четырёхугольника равны: \(60°, 75°, 105°, 120°\).
Данный четырёхугольник является выпуклым, так как все его углы меньше 180°.

Пусть углы четырёхугольника пропорциональны числам 4, 5 и 7. Обозначим углы как \(4x\), \(5x\), \(7x\) и \(y\). Сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому:

\(
4x + 5x + 7x + y = 360
\)

Сначала найдем сумму коэффициентов:

\(
4 + 5 + 7 = 16
\)

Теперь выразим \(y\) через \(x\):

\(
16x + y = 360
\)

Следовательно, \(y\) можно выразить как:

\(
y = 360 — 16x
\)

Теперь мы знаем, что все углы должны быть положительными и меньше 180°. Рассмотрим пропорции углов. Поскольку \(y\) является четвёртым углом, подставим его в уравнение:

\(
y = 360 — 16x
\)

Для нахождения \(x\) учтем, что \(y\) должно быть меньше 180°:

\(
360 — 16x < 180
\)

Решим это неравенство:

\(
360 — 180 < 16x
\)
\(
180 < 16x \) \( x > \frac{180}{16} = 11.25
\)

Теперь подставим \(x = 15\) (целое значение, которое подходит):

\(
y = 360 — 16 \cdot 15 = 360 — 240 = 120
\)

Теперь найдем углы:

\(
4x = 4 \cdot 15 = 60
\)
\(
5x = 5 \cdot 15 = 75
\)
\(
7x = 7 \cdot 15 = 105
\)
\(
y = 120
\)

Таким образом, углы четырёхугольника равны: \(60°, 75°, 105°, 120°\). Данный четырёхугольник является выпуклым, так как все его углы меньше 180°.