ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 10.1 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что можно описать окружность около:

1) любого прямоугольника;

2) любой равнобокой трапеции.

1) Для прямоугольника: окружность описывается вокруг прямоугольника, так как диагонали равны и пересекаются в центре. Углы 90°, значит, окружность проходит через все вершины.

2) Для равнобокой трапеции: углы при основании равны, значит, можно провести окружность, касающуюся всех сторон.

Ответ: окружность можно описать вокруг любого прямоугольника и любой равнобокой трапеции.

1) Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\). Углы \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) равны 90°. Обозначим длины сторон: \(AB = a\) и \(AD = b\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) равны и пересекаются в точке \(O\).

Длина диагонали \(AC\) вычисляется по формуле:

\(AC = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Так как все углы прямые, окружность, описанная вокруг прямоугольника, будет иметь центр в точке \(O\) и радиус, равный половине длины диагонали:

\(R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\).

Таким образом, окружность проходит через все четыре вершины \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\).

2) Теперь рассмотрим равнобокую трапецию \(ABCD\), где \(AB \parallel CD\) и \(AD = BC\). Обозначим длины оснований: \(AB = a\) и \(CD = b\), а стороны \(AD = BC = c\). Углы при основании равны: \( \angle A = \angle B\) и \( \angle C = \angle D\).

Проведем высоту \(h\) из точки \(C\) на основание \(AB\) и обозначим точку пересечения как \(H\). В равнобокой трапеции высота \(h\) делит основание \(AB\) на две равные части: \(AH = \frac{a — b}{2}\).

Теперь рассмотрим треугольники \(ADH\) и \(BCH\). Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (по свойству равнобокой трапеции). Следовательно, можно провести окружность, касающуюся всех четырех сторон. Радиус окружности можно найти по формуле для радиуса описанной окружности:

\(R = \frac{abc}{4S}\),

где \(S\) — площадь трапеции, вычисляемая по формуле:

\(S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\).

Таким образом, окружность можно описать вокруг любой равнобокой трапеции.