ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 10.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 60°, отрезки AM и CN его высоты, точка Q середина стороны АС. Докажите, что треугольник MNQ равносторонний.

Чтобы доказать, что треугольник MNQ является равносторонним, нужно показать, что его стороны равны. Так как угол B равен 60°, а AM и CN — его высоты, то по теореме Фалеса \(\frac{AM}{AB} = \frac{CN}{BC}\). Так как точка Q является серединой стороны AC, то \(\frac{MQ}{AQ} = \frac{NQ}{CQ}\). Следовательно, треугольники AMQ и CNQ подобны, а значит их стороны пропорциональны. Отсюда следует, что стороны треугольника MNQ равны, и он является равносторонним.

1) Дано, что в остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°, а AM и CN — его высоты.
2) По теореме Фалеса, \(\frac{AM}{AB} = \frac{CN}{BC}\). Так как точка Q является серединой стороны AC, то \(\frac{MQ}{AQ} = \frac{NQ}{CQ}\).
3) Следовательно, треугольники AMQ и CNQ подобны, так как у них соответственно равны углы (угол B равен 60°, а углы при вершинах Q равны).
4) Поскольку треугольники AMQ и CNQ подобны, их стороны пропорциональны. Значит, \(\frac{AM}{MQ} = \frac{CN}{NQ}\).
5) Из равенства отношений следует, что стороны треугольника MNQ равны, то есть он является равносторонним.