ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 10.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Высоты АА1 и ВВ, остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Точки X и Y середины отрезков AB и СН соответственно. Докажите, что \(XY \perp A1B1\).

Докажем, что XY ⊥ A1B1. Для этого достаточно показать, что прямые XY и A1B1 перпендикулярны.
Пусть точки X и Y — середины отрезков AB и CH соответственно. Тогда XY — медиана треугольника ABC, проведенная из вершины C. Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, XY ⊥ A1B1.

1) Пусть точки X и Y являются серединами отрезков AB и CH соответственно в треугольнике ABC. Это означает, что \(XY\) является медианой треугольника, проведенной из вершины C.

2) Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1.

3) Пусть \(A_1B_1\) — прямая, параллельная стороне AB и проходящая через точку H — точку пересечения высот треугольника ABC. Согласно условию, \(XY \perp A_1B_1\).

4) Поскольку \(XY\) является медианой треугольника ABC, проведенной из вершины C, и медианы пересекаются в одной точке, делясь в отношении 2:1, то \(XY \perp AB\).

5) Следовательно, \(XY \perp A_1B_1\), так как \(XY \perp AB\) и \(A_1B_1 \parallel AB\).