ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 10.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Высоты АА, и СС, остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что: 1) точки Н, С1, В и А, лежат на одной окружности; 2) точки А, С1, А1 и С лежат на одной окружности.

1) Точки H, C1, B и A лежат на одной окружности, так как они являются основаниями высот треугольника ABC.
2) Точки A, C1, A1 и C лежат на одной окружности, так как они являются вершинами вписанного четырехугольника.

1) Докажем, что точки H, C1, B и A лежат на одной окружности.
Высота, проведенная из вершины A, пересекает основание BC в точке H. Согласно теореме о пересечении высот в треугольнике, точки H, C1 (основание высоты, проведенной из вершины C) и B (основание высоты, проведенной из вершины B) лежат на одной прямой. Следовательно, эти точки являются основаниями высот треугольника ABC и, согласно свойству высот, лежат на одной окружности, описанной около треугольника ABC.

2) Докажем, что точки A, C1, A1 и C лежат на одной окружности.
Треугольник ABC является вписанным в окружность, так как его вершины лежат на этой окружности. Точка C1 является серединой дуги AC, а точка A1 является серединой дуги AB. Согласно свойству вписанных четырехугольников, точки A, C1, A1 и C лежат на одной окружности.