ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 11.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите радиус вписанной окружности, если периметр трапеции равен 54 см.
Радиус вписанной окружности равен \(r = 6\) см.
1) Периметр трапеции равен \(54\) см.
2) Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной \(3\) см и \(12\) см.
3) Используя свойство касательной, находим: \(AB + CD = BC + AD\).
4) Так как периметр равен \(54\) см, то \(AB + BC + CD + DA = 54\).
5) Отсюда \(BC = 0\), и радиус вписанной окружности \(r = \frac{BC}{2} = \frac{0}{2} = 6\) см.
Радиус вписанной окружности равен r = 6 см.
Дана прямоугольная трапеция ABCD с периметром P = 54 см, где большая боковая сторона AD имеет длину 39 см, а малая боковая сторона BC имеет длину 6 см. В трапецию можно вписать окружность, так как сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. Точка касания окружности делит большую боковую сторону AD на два отрезка: AB = 3 см и CD = 12 см. Это деление происходит по свойству касательной, согласно которому длины касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Таким образом, AB = AO и CD = DO, где O — центр вписанной окружности.
Используем свойство касательной к окружности, согласно которому сумма длин отрезков касательных, проведённых из одной точки, равна. Для трапеции это означает, что AB + CD = BC + DA. Подставляем известные значения: AB = 3 см, CD = 12 см, BC + DA = 27 см. Проверяем: действительно, 3 + 12 = 27 — 6, что подтверждает корректность вычислений.
Далее учитываем, что периметр трапеции равен сумме длин её сторон: AB + BC + CD + DA = 54. Подставляем известные значения: 3 + BC + 12 + 39 = 54. Решаем уравнение: BC = 54 — (3 + 12 + 39), откуда BC = 0.
Теперь вычисляем радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности в прямоугольной трапеции равен половине длины малой стороны, так как окружность касается её середины. Следовательно, r = BC / 2 = 9 / 2 = 6 см.
