ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 11.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности имеют внешнее касание, прямые AB и CD их общие касательные, точки A, B, C и D точки касания (рис. 11.6). Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность.

1. Прямые AB и CD — общие касательные окружностей, поэтому они перпендикулярны к линии, соединяющей центры окружностей.
2. Точки A, B, C и D являются точками касания, поэтому они лежат на линии, соединяющей центры окружностей.
Следовательно, точки A, B, C и D являются концами диаметров окружностей, и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Для доказательства того, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность, необходимо показать, что точки A, B, C и D являются концами диаметров окружностей. Это можно сделать следующим образом:

1. Пусть центры двух окружностей обозначены как \(O_1\) и \(O_2\).
2. Прямые \(AB\) и \(CD\) являются общими касательными окружностей, поэтому они перпендикулярны к линии, соединяющей центры окружностей \(O_1\) и \(O_2\).
3. Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) являются точками касания окружностей, поэтому они лежат на линии, соединяющей центры окружностей \(O_1\) и \(O_2\).
4. Так как точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на линии, соединяющей центры окружностей, и прямые \(AB\) и \(CD\) перпендикулярны к этой линии, то точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) являются концами диаметров окружностей.
5. Следовательно, в четырехугольник \(ABCD\) можно вписать окружность, так как его вершины являются концами диаметров.