ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 11.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Докажите, что этот четырёхугольник ромб.
Центр окружности, вписанной в четырехугольник, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Так как в данном четырехугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, то это ромб
Доказательство того, что четырехугольник ABCD является ромбом:
1) Согласно условию, центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD, совпадает с точкой пересечения его диагоналей O.
2) Диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом, так как центр окружности, вписанной в четырехугольник, совпадает с точкой пересечения диагоналей.
3) В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
4) Следовательно, четырехугольник ABCD является ромбом, так как его диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом.
5) Пусть длины сторон четырехугольника ABCD обозначим как \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = a\) и \(DA = b\).
6) Тогда диагонали четырехугольника ABCD равны: \(AC = \sqrt{a^2 + b^2}\) и \(BD = \sqrt{a^2 + b^2}\).
7) Так как диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам, то \(OA = OC = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}\) и \(OB = OD = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}\).
8) Таким образом, четырехугольник ABCD является ромбом, так как его диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
9) Следовательно, центр окружности, вписанной в ромб ABCD, совпадает с точкой пересечения его диагоналей.
10) Поэтому доказано, что четырехугольник ABCD является ромбом.
