ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 11.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром О. Докажите, что \(ZAOB + ZCOD = 180°\).

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром О. Согласно теореме о вписанном четырёхугольнике, сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Следовательно, \(ZAOB + ZCOD = 180°\).

Четырёхугольник ABCD является вписанным в окружность с центром O. Согласно теореме о вписанном четырёхугольнике, сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180°\). Таким образом, \(ZAOB + ZCOD = 180°\). Доказательство этого утверждения можно представить в виде следующих 10 шагов:

1) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Это означает, что каждая сторона четырёхугольника является хордой этой окружности.
2) Согласно теореме о вписанном четырёхугольнике, сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180°\).
3) Углы AOB и COD являются противоположными углами четырёхугольника ABCD.
4) Следовательно, \(ZAOB + ZCOD = 180°\).
5) Угол AOB образован касательной AO и секущей AB, проведёнными из точки O.
6) Угол COD образован касательной CO и секущей CD, проведёнными из точки O.
7) Согласно теореме о касательной и секущей, угол между касательной и секущей равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
8) Таким образом, \(ZAOB = \frac{1}{2}ZAOC\) и \(ZCOD = \frac{1}{2}ZCOA\).
9) Сложив эти равенства, получаем: \(ZAOB + ZCOD = \frac{1}{2}ZAOC + \frac{1}{2}ZCOA =\)
\(= \frac{1}{2}(ZAOC + ZCOA) = \frac{1}{2}(360°) = 180°\).
10) Следовательно, \(ZAOB + ZCOD = 180°\).