ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 11.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружность пересекает все стороны четырёхугольника ABCD так, что \(MN = KE = FP = RT\) (рис. 11.7). Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Окружность пересекает все стороны четырёхугольника ABCD, поэтому сумма противоположных сторон равна: \(AB + CD = AD + BC\). Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы в этот четырёхугольник можно было вписать окружность.

Дан четырёхугольник ABCD, в который вписана окружность. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон четырёхугольника. Для того чтобы четырёхугольник был вписанным, необходимо выполнение условия равенства сумм противоположных сторон: AB + CD = AD + BC.

Согласно теореме о вписанном четырёхугольнике, если окружность касается всех сторон четырёхугольника, то сумма противоположных сторон равна. Это связано с тем, что каждая сторона четырёхугольника делится точкой касания окружности на два отрезка, и сумма длин этих отрезков для противоположных сторон оказывается одинаковой. В данном случае выполняется равенство MN = KE = FP = RT, где MN, KE, FP и RT — длины отрезков, на которые делятся стороны четырёхугольника точками касания окружности.

Рассмотрим подробно, почему из равенства MN = KE = FP = RT следует, что AB + CD = AD + BC. Пусть MN — длина отрезка, на который делится сторона AB, KE — длина отрезка, на который делится сторона CD, FP — длина отрезка, на который делится сторона AD, и RT — длина отрезка, на который делится сторона BC. Так как окружность касается всех сторон четырёхугольника, то длины отрезков, на которые делятся стороны, равны между собой. Следовательно, сумма длин сторон четырёхугольника может быть представлена как сумма длин противоположных сторон: AB + CD = MN + KE и AD + BC = FP + RT. Поскольку MN = KE = FP = RT, то AB + CD = AD + BC.

Таким образом, условие задачи выполняется: окружность касается всех сторон четырёхугольника, и сумма противоположных сторон равна. Это подтверждает, что четырёхугольник ABCD является вписанным, то есть в него можно вписать окружность.