ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 11.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, имеют внешнее касание. Докажите, что в эту трапецию можно вписать окружность

Окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, имеют внешнее касание. Чтобы доказать, что в эту трапецию можно вписать окружность, нужно показать, что сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований трапеции.

Пусть боковые стороны трапеции имеют длины \(AB\) и \(CD\), а основания — \(BC\) и \(AD\). Согласно условию, окружности, построенные на \(AB\) и \(CD\) как на диаметрах, имеют внешнее касание. Это означает, что точки касания окружностей лежат на продолжении боковых сторон трапеции. Из свойств внешнего касания окружностей следует, что сумма длин отрезков, ограниченных точками касания, равна сумме длин оснований трапеции, то есть \(AB + CD = BC + AD\). Таким образом, сумма длин боковых сторон трапеции равна сумме длин ее оснований. Это свойство является необходимым и достаточным условием для того, чтобы в данную трапецию можно было вписать окружность. Действительно, если сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований, то центр вписанной окружности будет лежать на пересечении биссектрис углов трапеции, а радиус вписанной окружности будет равен половине разности длин оснований, деленной на синус угла между боковой стороной и основанием. Следовательно, в рассматриваемую трапецию можно вписать окружность.