ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 11.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Четырёхугольник является одновременно вписанным и описанным. Пусть M, N, P и Q точки касания вписанной окружности со сторонами четырёхугольника (рис. 11.8). Докажите, что \(MP \parallel NQ\).

Четырёхугольник является одновременно вписанным и описанным, поэтому углы, образованные касательными, противоположны друг другу и равны. Следовательно, \(MP \parallel NQ\).

Рассмотрим четырёхугольник MNPQ, который является одновременно вписанным и описанным. Согласно условию, углы, образованные касательными к окружности, являются противоположными и равны. Докажем, что прямые \(MP\) и \(NQ\) параллельны.

1) Пусть угол \(\angle MNP\) равен \(\alpha\), тогда угол \(\angle PNQ\) также равен \(\alpha\).
2) Так как сумма углов в четырёхугольнике равна \(360^\circ\), то \(2\alpha = 180^\circ\), следовательно, \(\alpha = 90^\circ\).
3) Таким образом, прямые \(MP\) и \(NQ\) образуют с касательными \(MN\) и \(PQ\) равные углы, что означает их параллельность.
4) Используя свойство параллельных прямых, можно записать: \(\angle MPL = \angle NQP\).
5) Так как углы, образованные касательными, равны, то \(\angle MPL = \angle NQP = 90^\circ\).
6) Следовательно, \(MP \parallel NQ\).
7) Докажем, что \(MP \perp NQ\). Так как углы, образованные касательными, равны \(90^\circ\), то \(MP \perp MN\) и \(NQ \perp PQ\).
8) Из свойства перпендикулярности прямых следует, что \(MP \perp NQ\).
9) Таким образом, мы доказали, что \(MP \parallel NQ\) и \(MP \perp NQ\).
10) Следовательно, прямые \(MP\) и \(NQ\) взаимно перпендикулярны.