ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 11.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан четырёхугольник ABCD. Известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются. Докажите, что четырёхугольник ABCD описанный.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является описанным, необходимо показать, что сумма углов при каждой вершине равна 180°. Поскольку окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются, можно утверждать, что углы при вершинах B и D равны 90°. Следовательно, сумма углов при каждой вершине четырехугольника ABCD равна 180°, и, таким образом, четырехугольник является описанным.

Пусть дан четырехугольник ABCD, в который вписаны две окружности, касающиеся друг друга. Для доказательства того, что этот четырехугольник является описанным, необходимо показать, что сумма углов при каждой вершине равна \(180°\).

Рассмотрим треугольники ABC и ACD, вписанные в эти окружности. Поскольку окружности касаются, углы при вершинах B и D в этих треугольниках равны \(90°\). Следовательно, сумма углов при вершинах B и D в четырехугольнике ABCD равна \(90° + 90° = 180°\).

Теперь рассмотрим оставшиеся углы при вершинах A и C. Так как сумма углов в четырехугольнике равна \(360°\), а углы при вершинах B и D равны \(90°\), то углы при вершинах A и C также должны в сумме составлять \(360° — 180° = 180°\).

Таким образом, сумма углов при каждой вершине четырехугольника ABCD равна \(180°\), что означает, что этот четырехугольник является описанным.