ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 11.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что четырёхугольник ABCD описанный. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются.

Известно, что четырехугольник ABCD является описанным. Это означает, что окружность, проходящая через вершины A, B, C и D, касается сторон четырехугольника. Поскольку треугольники ABC и ACD являются вписанными в эту окружность, то окружности, вписанные в эти треугольники, будут касаться друг друга.

Четырехугольник ABCD является описанным, что означает, что существует окружность, проходящая через его вершины A, B, C и D. Согласно теореме об описанном четырехугольнике, эта окружность касается всех сторон четырехугольника. Треугольники ABC и ACD являются вписанными в эту описанную окружность. Согласно теореме о вписанных окружностях, окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, будут касаться друг друга.

Пусть радиусы вписанных окружностей треугольников ABC и ACD равны \(r_1\) и \(r_2\) соответственно. Тогда расстояние между центрами этих окружностей равно \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\), где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) — координаты центров окружностей. Поскольку окружности касаются друг друга, то \(d = r_1 + r_2\).

Таким образом, можно записать систему уравнений:
\(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\)
\(d = r_1 + r_2\)

Решая эту систему, можно найти радиусы \(r_1\) и \(r_2\) вписанных окружностей треугольников ABC и ACD соответственно. Следовательно, окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются друг друга.