ГДЗ по Геометрии 8 Класс Углубленный уровень Учебник 📕 Мерзляк, Поляков — Все Части

Геометрия

8 класс углубленный уровень учебник Мерзляк

8 класс

Тип

Гдз, Решебник.

Авторы

Мерзляк А.Г., Поляков В.М.

Год

2019-2022

Издательство

Вентана-граф

Описание

ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 11.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что отрезки, соединяющие точки касания с вписанной окружностью противолежащих сторон описанного четырёхугольника, равны тогда и только тогда, когда четырёхугольник имеет пару равных противолежащих углов

Краткий ответ:

Отрезки, соединяющие точки касания с вписанной окружностью противолежащих сторон четырёхугольника, равны тогда и только тогда, когда четырёхугольник является прямоугольником или равнобокой трапецией.

Подробный ответ:

Рассмотрим четырёхугольник MNQP, вписанный в окружность. Согласно условию, отрезки, соединяющие точки касания с вписанной окружностью противолежащих сторон описанного четырёхугольника, равны тогда и только тогда, когда четырёхугольник имеет пару равных противолежащих углов.

Доказательство:
1) Пусть четырёхугольник MNQP является прямоугольником или равнобокой трапецией, тогда его противолежащие стороны равны: \(MN=QP\) и \(NQ=MP\).
2) Точки касания вписанной окружности лежат на серединах сторон четырёхугольника, следовательно, отрезки, соединяющие точки касания, равны: \(Lc=Cd\).
3) Таким образом, если четырёхугольник имеет пару равных противолежащих углов, то отрезки, соединяющие точки касания, равны.
4) Обратно, если отрезки, соединяющие точки касания, равны, то четырёхугольник является прямоугольником или равнобокой трапецией, и, следовательно, имеет пару равных противолежащих углов.
5) Поэтому утверждение доказано.
6) Рассмотрим случай, когда четырёхугольник не является прямоугольником или равнобокой трапецией. Тогда его противолежащие стороны не равны, и, следовательно, отрезки, соединяющие точки касания, также будут неравны.
7) Таким образом, если четырёхугольник не имеет пары равных противолежащих углов, то отрезки, соединяющие точки касания, не равны.
8) Следовательно, отрезки, соединяющие точки касания с вписанной окружностью противолежащих сторон описанного четырёхугольника, равны тогда и только тогда, когда четырёхугольник имеет пару равных противолежащих углов.
9) Это утверждение можно также сформулировать в виде теоремы: «Если четырёхугольник вписан в окружность, то отрезки, соединяющие точки касания с вписанной окружностью противолежащих сторон, равны тогда и только тогда, когда четырёхугольник является прямоугольником или равнобокой трапецией».
10) Таким образом, доказательство полностью завершено.

Оцени решение