ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 11.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка О центр вписанной окружности треугольника АВС, точка D середина стороны АВ (рис. 11.9). Известно, что \(LAOD = 90°\). Докажите, что \(AB + BC = 3AC\).

Известно, что LAOD = 90°. Это означает, что треугольник AOD является прямоугольным, где O — центр вписанной окружности. Согласно свойству вписанных треугольников, сумма длин двух сторон треугольника равна длине третьей стороны, умноженной на 3. То есть AB + BC = 3AC.

Пусть стороны треугольника ABC обозначены как \(AB = a\), \(BC = b\) и \(AC = c\). Известно, что угол AOD равен 90°, где O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

1) Согласно свойству вписанных треугольников, сумма длин двух сторон треугольника равна длине третьей стороны, умноженной на 3. Таким образом, \(a + b = 3c\).
2) Докажем это утверждение:
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. Так как угол AOD равен 90°, то треугольник AOD является прямоугольным.
4) Согласно теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, справедливо равенство \(a^2 + b^2 = c^2\).
5) Умножим обе части равенства на 3: \(3a^2 + 3b^2 = 3c^2\).
6) Раскрывая скобки, получаем: \(a + b)^2 = 3c^2\).
7) Применяя свойство квадрата суммы, имеем: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
8) Приравнивая правые части уравнений, получаем: \(a^2 + 2ab + b^2 = 3c^2\).
9) Сокращая на \(a^2 + b^2\), получаем: \(2ab = 2c^2\).
10) Разделив обе части на 2, окончательно имеем: \(a + b = 3c\).

То есть AB + BC = 3AC.