ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Диагонали трапеции пересекаются в точке, делящей их на части, пропорциональные основаниям. Так как средняя линия проходит через точку пересечения диагоналей и является средней линией трапеции, она делит диагонали пополам.

1. Пусть \(ABCD\) — трапеция, у которой \(AB \parallel CD\). Обозначим точки пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) как \(K\). Среднюю линию трапеции обозначим как \(MN\). По определению средней линии трапеции, она соединяет середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\) и параллельна основаниям \(AB\) и \(CD\).

2. Средняя линия трапеции обладает свойством, что её длина равна полусумме оснований: \(MN = \frac{AB + CD}{2}\). Это следует из теоремы о средней линии трапеции. Также она делит трапецию на две части, которые являются равнобедренными треугольниками, если трапеция равнобедренная, или на два подобных треугольника, если трапеция произвольная.

3. Рассмотрим диагонали \(AC\) и \(BD\). Они пересекаются в точке \(K\). Согласно теореме о пересечении диагоналей трапеции, точка пересечения делит диагонали на отрезки, пропорциональные основаниям. То есть:
\[
\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{CD}, \quad \frac{BK}{KD} = \frac{AB}{CD}.
\]

4. Поскольку средняя линия \(MN\) проходит через точку пересечения диагоналей \(K\), она делит каждую диагональ на две равные части. Докажем это для диагонали \(AC\). Пусть \(AK = x\) и \(KC = y\). Тогда из пропорции:
\[
\frac{x}{y} = \frac{AB}{CD}.
\]
Средняя линия \(MN\), соединяя середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\), проходит через точку \(K\), деля диагональ \(AC\) так, что \(x = y\). Аналогично доказывается для диагонали \(BD\), что \(BK = KD\).

5. Таким образом, средняя линия \(MN\), будучи параллельной основаниям и проходя через точку пересечения диагоналей \(K\), делит диагонали \(AC\) и \(BD\) пополам. Это свойство является следствием симметрии, возникающей из параллельности средней линии основаниям и её положения относительно точек пересечения диагоналей.