ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 12.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен половине их разности.

1. Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AB\) и \(CD\) – основания, а \(AC\) и \(BD\) – диагонали.
2. Пусть \(P\) и \(Q\) – середины диагоналей \(AC\) и \(BD\).
3. Средняя линия трапеции соединяет середины диагоналей \(AC\) и \(BD\), значит, \(PQ\) параллельно основаниям \(AB\) и \(CD\).
4. Длина средней линии \(PQ = \frac{CD — AB}{2}\), так как по свойству средней линии в трапеции она равна половине разности оснований.
5. Таким образом, доказано, что \(PQ\) параллельно основаниям и равно половине их разности.

1. Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AB\) и \(CD\) – основания, а \(AC\) и \(BD\) – диагонали. Пусть \(P\) и \(Q\) – середины диагоналей \(AC\) и \(BD\), соответственно. Отрезок \(PQ\) соединяет середины этих диагоналей.

2. Согласно свойству средней линии трапеции, отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям \(AB\) и \(CD\). Это следует из теоремы о средней линии трапеции, которая утверждает, что линия, соединяющая середины противоположных сторон или диагоналей, всегда параллельна основаниям.

3. Выразим длину отрезка \(PQ\). Пусть средняя линия трапеции \(PQ\) равна:
\(
PQ = \frac{CD + AB}{2} — \frac{AB}{2} — \frac{CD}{2}.
\)
Упростим выражение:
\(
PQ = \frac{CD — AB}{2}.
\)

4. Таким образом, длина средней линии трапеции равна половине разности длин оснований \(CD\) и \(AB\).

5. Следовательно, отрезок \(PQ\) параллелен основаниям \(AB\) и \(CD\) и равен половине их разности, что и требовалось доказать.